경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2008 · #15

학년 6 arithmeticnumber-theory
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration
divisibility-rulesmodular-arithmeticmean-median-mode-rangesystematic-enumeration modular-arithmeticsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: divisibility-rulesmean-median-mode-range
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
테레사는 처음 8 경기에서 7, 4, 3, 6, 8, 3, 1, 5 점을 얻었습니다. 9번째 경기에서는 10 점 미만을 얻었고 9 경기 평균이 정수였습니다. 10번째 경기에서도 10 점 미만을 얻었고 10 경기 평균 역시 정수였습니다. 9번째 경기와 10번째 경기 점수의 곱을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
35
(B)
40
(C)
48
(D)
56
(E)
72

AMC 8 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 나머지(모듈러) 사용하기

"평균이 정수" 라는 말은 사실 "총점이 그 경기 수의 배수" 라는 나눗셈 조건이에요. 그래서 도구 #12(나머지·배수)가 딱 맞습니다. 도구 #7 로는 문제를 깔끔하게 두 단계로 쪼개요. 먼저 9의 배수 조건으로 9번째 경기 점수를 정하고, 그 다음 10의 배수 조건으로 10번째 경기 점수를 정합니다. 두 경우 모두 "10 점 미만" 이라는 상한이 답을 한 가지로 좁혀줍니다.

1STEP 1

처음 8경기 점수 더하기

처음 8 경기 점수를 모두 더하면 출발 총점은 37.

7+4+3+6+8+3+1+5 = 37
2STEP 2

평균을 배수 조건으로 바꾸기

"9 경기 평균이 정수" 는 곧 9 경기 총점이 9의 배수 여야 한다는 뜻입니다.

37 + (9번째 경기 점수) ≡ 0 (mod 9)
3STEP 3

9의 배수 중 다음 수 찾기

닿을 수 있는 구간 [37, 46] 안의 9의 배수는 45 뿐이라 새 총점은 45.

9 의 배수: …, 36, 45, 54, … → 새 총점 = 45
4STEP 4

9경기 점수 구하기

빼서 9번째 경기 점수를 읽어내면 8 (8은 10 미만).

9번째 점수 = 45 - 37 = 8 (8 ＜ 10 ✓)
5STEP 5

10경기에 같은 방법 쓰기

10번째 경기도 같은 방식. [45, 54] 안의 10의 배수는 50 뿐이라 총점은 50.

45 + (10번째 경기 점수) ≡ 0 (mod 10) → 새 총점 = 50
6STEP 6

두 점수 곱하기

10번째 점수는 5, 두 점수를 곱하면 8 × 5 = 40.

10번째 점수 = 50 - 45 = 5, 8 × 5 = 40 → (B)
정답
40
두 평균을 직접 확인해 봅시다. 9 경기 총점 45 이므로 평균은 45 ÷ 9 = 5, 정수입니다. 10 경기 총점은 45 + 5 = 50 이므로 평균은 50 ÷ 10 = 5, 역시 정수입니다. 9번째·10번째 점수 (8과 5) 모두 10 점 미만 조건을 만족하고, 곱 8 × 5 = 40은 선택지 (B)와 일치합니다. 답의 유일성도 확인: 37 이상인 그 다음 9의 배수는 54 인데, 그러려면 9번째 점수가 17 이어야 해서 "10 점 미만" 조건이 깨집니다. 그러니 45가 강제됩니다.
💡핵심 정리

평균이 정수 = 총점이 배수. 9의 배수까지 한 번, 10의 배수까지 한 번 — 두 번의 도약이 두 경기 점수를 알려줍니다.

  • 처음 8경기 점수 더하기
  • 평균을 배수 조건으로 바꾸기
  • 9의 배수 중 다음 수 찾기
  • 9경기 점수 구하기
  • 10경기에 같은 방법 쓰기
  • 두 점수 곱하기

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