AMC 8 · 2008 · #17

학년 4 geometry-2d

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

area-rectanglesperimetersystematic-enumerationoptimization-counting systematic-enumerationidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-rectanglesperimeter

📏 짧은 풀이 💡 3 개 인사이트

📘 쉬운 버전 보기 →

문제

각 학생은 변의 길이가 모두 정수이고 둘레가 50 인 직사각형을 그립니다. 그리고 그 넓이를 계산합니다. 가능한 가장 큰 넓이와 가장 작은 넓이의 차이는 얼마인가요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

120

(C)

128

(D)

132

(E)

136

AMC 8 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 극단의 원리

둘레 조건에서 l + w = 25 가 고정됩니다. 그러면 넓이 l × w 는 25 를 두 양의 정수로 어떻게 가르느냐에 따라 달라져요. 합이 정해진 두 수의 곱의 최댓값과 최솟값을 묻고 있으므로 도구 #14(극단의 원리)가 핵심입니다 — 두 수가 가장 가까울 때 곱이 가장 크고, 가장 멀 때 가장 작거든요. 도구 #4(변수 도입하기)로 변의 길이에 l, w 라는 이름을 붙이고, 도구 #2(체계적으로 나열하기)로 양 끝 쌍을 확인하면 극단값이 맞는지 점검할 수 있습니다.

1STEP 1

변을 l, w 라 하고 둘레를 반으로 나누면 2(l+w)=50 이 l+w=25 가 되며, 둘 다 양의 정수입니다.

2(l + w) = 50 → l + w = 25, l,w ∈ {1,2,3,…}

2STEP 2

l+w=25 가 고정이면 넓이 A=l(25-l) 는 두 인수가 벌어질수록 작아지므로, 가장 가까울 때 최대가 됩니다.

A(l) = l × (25 - l); |l-w| 가 작을수록 크고, 클수록 작다.

3STEP 3

가장 가까운 쌍 (12,13) 이 최대 넓이 156, 가장 먼 쌍 (1,24) 이 최소 넓이 24 를 줍니다.

l ≤ w 인 쌍 (l,w): (1,24),(2,23),…,(12,13). 가장 큰 넓이: 12 × 13 = 156. 가장 작은 넓이: 1 × 24 = 24.

4STEP 4

가장 큰 넓이에서 가장 작은 넓이를 빼면 문제가 묻는 차이가 나옵니다.

156 - 24 = 132 → (D)

정답

132

답 132 는 선택지 (D) 와 일치합니다. 흐름을 중간값으로도 점검해 봅시다: (10,15) 은 150, (11,14) 는 154, (12,13) 은 156 — 두 변이 가까워질수록 곱이 커지고, 25 가 홀수라 l=w 인 경우는 없습니다. 반대쪽 끝에서는 (1,24)=24, (2,23)=46 으로 가장 치우친 쌍에서 넓이가 가장 작습니다. 따라서 156-24=132 가 일관됩니다.

💡핵심 정리

두 자연수의 합이 정해져 있을 때, 두 수가 서로 가까울수록 곱이 크고, 서로 멀수록 곱이 작아요.

비슷한 유형 더 풀어보기