AMC 8 · 2008 · #20

학년 6 rate-ratio

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Chained Ratio Linking

ratio-proportionfraction-arithmeticlcmmultiples identify-subproblems ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticlcm

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

닛킨 선생님 반에서 남학생의

\frac{2}{3}

와 여학생의

\frac{3}{4}

가 글씨쓰기 시험을 통과했고, 통과한 남학생 수와 통과한 여학생 수가 같습니다. 반 전체 학생 수의 최솟값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 방정식 세우기

두 분수로 표현된 두 수가 같다는 조건은 곧바로 식 하나로 옮길 수 있습니다 — 그래서 도구 #3(방정식 세우기)이 중심입니다. 도구 #4(변수 도입하기)로 남학생 수와 여학생 수에 문자를 붙이면 그 식을 쓸 수 있고, "최솟값"이라는 단어가 도구 #14(극단적인 경우 살펴보기)의 신호입니다. 방정식이 남녀 비율을 정해 주면, 그 비율을 만족하는 가장 작은 자연수 쌍이 답이 됩니다.

1STEP 1

남학생 수를 b, 여학생 수를 g 라 하면 통과자는 $\frac{2}{3}b$ 명, $\frac{3}{4}g$ 명입니다.

b = 남학생 수, g = 여학생 수

2STEP 2

"같은 수가 통과"는 두 통과자 수가 같다는 뜻: $\frac{2}{3}b = \frac{3}{4}g$ .

\frac{2}{3}b = \frac{3}{4}g

3STEP 3

양변에 최소공배수 12 를 곱해 분모를 없애면 8b = 9g 가 됩니다.

12 ·

\frac{2}{3}b

= 12 ·

\frac{3}{4}g

→ 8b = 9g

4STEP 4

8 과 9 는 서로소라 자연수 해는 비 b : g = 9 : 8 로 고정됩니다.

8b = 9g →

\frac{b}{g} = \frac{9}{8}

5STEP 5

가장 작은 쌍은 b = 9, g = 8; 확인: $\frac{2}{3}$ (9) = 6 명, $\frac{3}{4}$ (8) = 6 명이 통과 — 같습니다.

b = 9, g = 8 (통과자: 6 = 6 ✓)

6STEP 6

남학생 9 명 + 여학생 8 명 = 17 명, 가능한 가장 작은 학급입니다.

b + g = 9 + 8 = 17 → (B)

정답

그 다음으로 작은 쌍 b = 18, g = 16 도 8b = 9g 를 만족하고 통과자는

\frac{2}{3}

(18) = 12 명과

\frac{3}{4}

(16) = 12 명으로 같지만, 합이 34 로 17 보다 큽니다. 모든 해는 (9, 8) 의 자연수 배수이므로 17 이 진짜 최솟값입니다. 오답은 함정과 잘 맞물려 있습니다 — (A) 12 는 남학생 수와 여학생 수가 달라야 한다는 사실을 놓친 함정, (C) 24, (D) 27, (E) 36 은 모두 같은 비의 더 큰 배수들입니다.

💡핵심 정리

두 집단의 분수가 같은 수를 만들면 방정식 한 개로 옮기고, 분수를 없앤 뒤 그 비를 만족하는 가장 작은 자연수 쌍을 고르세요 — 여기서는 남학생 9 명, 여학생 8 명, 합 17.

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