경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2008 · #4

학년 3 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Nested Frame / Concentric Difference

area-trianglesequal-spacingfraction-arithmetic area-differenceidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-trianglesfraction-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

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문제

큰 정삼각형의 넓이가 16 이고, 그 안에 들어 있는 작은 정삼각형의 넓이가 1 입니다. 두 정삼각형 사이의 공간은 합동인 사다리꼴 세 개로 나뉘어 있습니다. 사다리꼴 한 개의 넓이는 얼마인가요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 나누기

바깥 삼각형은 두 종류의 조각으로 이루어져 있어요. 작은 삼각형 하나와 사다리꼴 세 개이고, 서로 겹치는 부분은 없어요. 도구 #7(작은 문제로 나누기)로 풀이를 두 단계로 쪼갭니다. 먼저 사다리꼴 세 개의 넓이 합을 구하고(바깥에서 안쪽을 뺌), 그다음 합동이라는 사실을 이용해 셋으로 똑같이 나눕니다. 도구 #15(그림으로 떠올리기)로 그림을 확인하면 사다리꼴 세 개가 두 삼각형 사이 띠 모양 영역을 빈틈이나 겹침 없이 정확히 덮고 있다는 점이 보입니다.

1STEP 1

두 삼각형 그려 보기

바깥 삼각형은 안쪽 삼각형과 겹치지 않는 사다리꼴 세 개로 이루어지므로, 넓이는 그 조각들의 합입니다.

바깥 넓이 = 안쪽 넓이 + (사다리꼴 3개의 넓이)

2STEP 2

안쪽 삼각형 빼기

바깥 삼각형에서 안쪽 삼각형을 빼면 사다리꼴 세 개의 넓이 합 15 가 나옵니다.

사다리꼴 3개의 넓이 = 16 - 1 = 15

3STEP 3

넓이를 셋으로 나누기

사다리꼴 세 개는 합동이므로, 그 넓이 합을 3으로 똑같이 나눕니다.

사다리꼴 1개의 넓이 = 15/3 = 5 → (C)

3학년 등분 나눗셈: 15를 똑같은 조각 3 개로 똑같이 나누면 한 조각당 5.

사다리꼴 하나의 넓이는 바깥 삼각형 넓이와 안쪽 삼각형 넓이의 차의 삼분의 일과 같다.

▸ 왜?

세 사다리꼴은 두 삼각형 사이의 영역을 정확히 채우며, 그 사이 영역의 넓이는 바깥 넓이에서 안쪽 넓이를 뺀 값이다.

▸ 왜?

바깥 삼각형은 안쪽 삼각형과 세 사다리꼴이 빈틈도 겹침도 없이 합쳐진 것이므로, 그 넓이는 이 부분들의 합이다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

▸ 왜?

바깥 넓이에서 안쪽 삼각형 넓이를 빼는 것은 그것을 더했던 일을 되돌리는 것이라, 세 사다리꼴의 합친 넓이가 남는다.

역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.

▸ 왜?

세 사다리꼴은 서로 합동이므로 합친 넓이는 똑같은 세 몫으로 나뉘고, 각 사다리꼴은 그 몫 하나이다.

▸ 왜?

각 사다리꼴은 밀거나 돌리거나 뒤집어 다른 사다리꼴에 정확히 포갤 수 있으므로, 셋은 같은 넓이를 차지한다.

강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).

▸ 왜?

합친 넓이는 사다리꼴 하나의 똑같은 묶음 세 개이므로, 사다리꼴 하나는 그 합친 넓이를 삼으로 나눈 것이다.

▸ 왜?

똑같은 사다리꼴 셋은 똑같은 묶음 세 개를 이루므로, 그 전체는 사다리꼴 하나의 세 배이다.

곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.

▸ 왜?

전체를 삼으로 나누는 것은 사다리꼴 하나에 삼을 곱한 것을 되돌려, 사다리꼴 하나의 넓이를 되찾는다.

역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.

3.OA.A.2Identify Subproblems

정답

조각들을 다시 더해 봅시다. 안쪽 삼각형 1 더하기 사다리꼴 세 개 각 5 이므로 1 + 3 × 5 = 1 + 15 = 16, 바깥 삼각형의 넓이와 정확히 일치합니다. 답 5는 선택지 가운데 값이고 크기도 자연스러워요. 각 사다리꼴은 작디작은 안쪽 삼각형보다는 크지만 전체 도형보다는 훨씬 작거든요. 그림과 잘 맞습니다.

💡핵심 정리

큰 삼각형에서 작은 삼각형을 빼면 사다리꼴 세 개의 넓이 합이 나옵니다 — 셋이 똑같으니까 그 값을 3으로 나누면 끝. 빼기 다음에 똑같이 나누기.

두 삼각형 그려 보기
안쪽 삼각형 빼기
넓이를 셋으로 나누기

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두 삼각형 그려 보기

안쪽 삼각형 빼기

넓이를 셋으로 나누기

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