경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2008 · #7
학년 4 arithmeticrate-ratio답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
3/5 = M/45 = 60/N 이라는 식은 사실 두 개의 독립적인 식을 이어 붙인 것입니다. 도구 #7(부분 문제로 나누기)을 쓰면 M 에 대한 식 하나, N 에 대한 식 하나로 분리할 수 있습니다. 각 조각은 4학년 동치 분수 문제 — 3/5의 분자와 분모에 같은 수를 곱하는 일 — 그대로입니다. 도구 #3(식 세우기)으로 그 곱하는 수를 명확히 적으면 빠르게 풀립니다.
두 식으로 나누기
식을 M 에 대한 것과 N 에 대한 것, 두 개로 분리합니다.
4학년 동치 분수 규칙은 "분자·분모에 같은 수를 곱하면 같은 분수" 입니다. 두 식은 독립이라 따로 풀 수 있습니다.
4.NF.A.1Identify SubproblemsM 구하기
분모 5 → 45는 ×9 이므로, 분자에도 같은 9를 곱해 M = 27.
"5에 무엇을 곱하면 45가 되는가?"는 3학년 곱셈의 빈자리 채우기 문제입니다. 같은 수를 분자에도 곱합니다.
분모 5에 9를 곱해야 45가 되므로, 분자 3에도 같은 9를 곱해야 하고, 따라서 M = 27이다.
▸ 왜?
두 분수는 한쪽의 분자와 분모에 같은 수를 곱해 다른 쪽이 될 때에만 같으므로, 5를 45로 키우는 그 수가 위의 3에도 똑같이 곱해져야 한다.
▸ 왜?
분자와 분모에 같은 9를 곱해도 분수의 값은 변하지 않는다: 각 조각을 9로 나누면 두 개수는 모두 아홉 배가 되지만 전체에서 차지하는 부분은 그대로다.
▸ 왜?
5개의 조각과 색칠된 3개의 조각을 각각 9개의 같은 조각으로 나누면 각 개수가 아홉 배가 되어 — 5는 45가 되고 3은 27이 된다 — 같은 크기 묶음을 세는 것이 곧 곱셈이기 때문이다.
▸ 왜?
더 잘게 나눈 조각들도 빈틈 없이 겹침 없이 같은 전체를 채우므로, 색칠된 영역의 크기는 이전과 같다 — 몇 조각으로 나뉘었는지만 달라졌다.
▸ 왜?
공통 곱수가 9인 까닭은 5에 곱해 45가 되게 하는 수가 바로 9이기 때문이며, 곱셈을 되돌리는 연산인 나눗셈으로 45를 5로 나누어 그 값을 찾는다.
N 구하기
분자 3 → 60은 ×20 이므로, 분모에도 같은 20을 곱해 N = 100.
같은 원리, 이번에는 미지수가 분모입니다. 3을 60으로 만드는 수를 분모에도 그대로 곱합니다.
4.NF.A.1Eliminate PossibilitiesM과 N 더하기
두 결과를 더하면 M + N = 27 + 100 = 127.
4학년 여러 자리 덧셈 그대로입니다.
4.NBT.B.4Eliminate Possibilities두 분수가 같을 때 분자와 분모는 항상 같은 수만큼 커지거나 작아진다 — 그 "곱하는 수" 만 찾으면 미지수가 바로 떨어져요.
- 두 식으로 나누기
- M 구하기
- N 구하기
- M과 N 더하기
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