AMC 8 · 2009 · #10

학년 7 probability

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 At-Least-One Complement: 1 − P(None)

probability-basicarea-rectanglesfraction-arithmetic identify-subproblemseasier-related-problem ↑ 선수 지식: area-rectanglesfraction-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

8 × 8 체커보드는 모두 64 개의 단위 정사각형으로 이루어져 있습니다. 그 중 하나를 무작위로 고를 때, 그 칸이 보드의 바깥 테두리에 닿지 않을 확률은 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{16}$

(B)

$\frac{7}{16}$

(C)

$\frac{1}2$

(D)

$\frac{9}{16}$

(E)

$\frac{49}{64}$

AMC 8 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

보드 그림이 이미 눈앞에 있으니 도구 #1(그림 그리기) 로 곧장 들어갑니다 — 바깥 테두리에 닿는 칸들은 보드를 빙 둘러싼 한 칸 두께의 "액자 테" 를 이루고, 그 안쪽에 남는 칸들이 우리가 세고 싶은 영역입니다. 다만 8 × 8 에서 바로 세기 전에 도구 #9(더 쉬운 문제로 바꾸기) 로 4 × 4 작은 보드에서 규칙을 먼저 확인합니다. 4 × 4 에서 테두리를 벗기면 2 × 2 가 남고, 일반적으로 n × n 보드의 내부는 (n-2) × (n-2) 입니다. 이 규칙을 n = 8 에 그대로 적용한 뒤 나눠 주면 끝납니다.

1STEP 1

먼저 보드 전체를 셉니다. 8 행에 8 칸씩이니 8 × 8 = 64 칸이 모두 동일 확률이에요.

전체 = 8 × 8 = 64

2STEP 2

작은 4 × 4 보드로 시험해 보면, 테두리를 벗기자 가운데 2 × 2 가 남아요. 즉 안쪽은 (n-2) × (n-2) 예요.

(4 - 2) × (4 - 2) = 2 × 2 = 4

3STEP 3

같은 그림을 8 × 8 에 적용하면, 테두리에 닿지 않는 칸은 (8-2) × (8-2) = 6 × 6 블록, 즉 36 칸이에요.

(8 - 2) × (8 - 2) = 6 × 6 = 36

4STEP 4

확률을 (원하는 칸) / (전체) = $\frac{36}{64}$ 로 놓고, 분자·분모를 4 로 나눠 $\frac{9}{16}$ 로 약분해요.

P =

\frac{36}{64}

= (36 ÷ 4)/(64 ÷ 4) =

\frac{9}{16}

→ (D)

정답

\frac{9}{16}

테두리 칸을 다른 방식으로 직접 세 봐도 같습니다. 8 × 8 의 바깥 테두리는 4 × 8 - 4 = 28 칸입니다(네 변의 8 칸씩에서, 두 번 세어진 네 모서리를 빼 줌). 안쪽 = 64 - 28 = 36 으로 6 × 6 결과와 정확히 일치합니다. 확률

\frac{36}{64}

\frac{9}{16}

은

\frac{1}{2}

보다 살짝 크고, 안쪽 영역이 테두리보다 분명히 넓다는 그림과도 맞습니다. (A)

\frac{1}{16}

와 (E)

\frac{49}{64}

는 크기가 너무 동떨어져 있고, (C)

\frac{1}{2}

라면 테두리와 안쪽 칸 수가 같아야 하는데 그림에서 그렇지 않습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 7학년 확률 — 원하는 칸 수를 전체 칸 수로 나누고 약분 — 만 알면 풀 수 있어요!

비슷한 유형 더 풀어보기