경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2009 · #13

학년 7 probability

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

probability-basicpermutations-basicdivisibility-rules systematic-enumeration ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticdivisibility-rules

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

숫자 1, 3, 5를 한 번씩만 써서 세 자리 정수를 만듭니다. 이 배열을 무작위로 고를 때, 만들어진 수가 5로 나누어떨어질 확률은 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{6}$

(B)

$\frac{1}{3}$

(C)

$\frac{1}{2}$

(D)

$\frac{2}{3}$

(E)

$\frac{5}{6}$

AMC 8 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 체계적으로 목록 만들기

세 숫자의 배열은 3! = 6 가지뿐이라서 도구 #2(체계적으로 목록 만들기)로 전부 나열하고 조건에 맞는 것만 직접 세면 됩니다 — 공식이 따로 필요 없습니다. 도구 #16(관점 바꾸기)은 문제를 더 간단히 바라보게 해 줍니다 — 수 전체의 나눗셈을 일일이 확인하는 대신, 5의 배수는 "일의 자리" 만 보면 된다는 사실에 초점을 옮깁니다. 일의 자리에 집중하면 "6 개 배열 중 일의 자리가 5 인 것은 몇 개?" 로 문제가 한 줄로 줄어듭니다.

1STEP 1

여섯 가지 배열 적기

1, 3, 5의 모든 배열을 나열하면 세 자리 수는 모두 6 개입니다.

{135, 153, 315, 351, 513, 531} — 총 6 개

2STEP 2

일의 자리 살피기

초점을 일의 자리로 옮깁니다. 5의 배수는 0 또는 5로 끝나는데, 0이 없으니 결국 일의 자리가 5 인 경우입니다.

5의 배수 ⇔ 일의 자리 ∈ {0, 5} → 일의 자리 = 5

4학년의 5의 배수 판정법은 마지막 자리만 보면 되니, 백·십의 자리는 신경 쓰지 않아도 됩니다.

이 세 자리 수는 일의 자리 숫자가 5일 때 정확히 5로 나누어떨어진다.

▸ 왜?

자리값에 따라 이 수는 백의 자리 숫자 곱하기 100, 더하기 십의 자리 숫자 곱하기 10, 더하기 일의 자리 숫자로 쓸 수 있고, 이 세 부분을 다시 더하면 원래 수가 된다.

▸ 왜?

각 자리는 바로 아래 자리 열 개를 담는다 — 1이 열이면 10 하나, 10이 열이면 100 하나 — 그래서 백의 자리 부분은 100, 십의 자리 부분은 숫자마다 10의 값을 가진다.

자리값 묶기1이 열이면 10 하나, 10이 열이면 100 하나 — 각 자리는 아래 자리 열 개를 묶은 것이다.

▸ 왜?

세 자리 부분은 겹침도 빈틈도 없이 수 전체를 덮으므로, 다시 더하면 정확히 원래 수로 돌아온다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

▸ 왜?

백의 자리 부분과 십의 자리 부분은 각각 5의 묶음이 온전히 여러 개이므로 5로 나누면 남는 것이 없고, 전체가 5의 배수인지 여부를 바꾸지 못한다.

▸ 왜?

10은 5가 두 묶음, 100은 5가 스무 묶음이므로, 십이나 백이 몇 개든 결국 같은 크기 5묶음이 쌓인 것 — 곧 5의 배수다.

곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.

▸ 왜?

백의 자리와 십의 자리 부분이 나머지에 아무것도 보태지 않으므로, 전체가 5의 배수가 되는 것은 일의 자리 숫자가 5의 배수일 때뿐이고, 숫자 1, 3, 5 중에서 5만이 스스로 5의 배수다.

▸ 왜?

5는 5가 온전히 한 묶음이지만 1과 3은 한 묶음에 못 미치므로, 이 세 숫자 중 5만이 5로 딱 나누어떨어진다.

곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.

4.OA.B.4Change Focus Count The Complement

3STEP 3

5로 끝나는 수 표시하기

5로 끝나는 수를 목록에서 찾으면 135와 315 뿐이라, 조건을 만족하는 배열은 2 개입니다.

조건 만족 = {135, 315} → 개수 = 2

4STEP 4

확률 약분하기

조건 만족을 전체로 나누고 $\frac{2}{6}$ 을 약분하면 $\frac{1}{3}$ , 곧 답 (B)입니다.

P = 2/6 = 1/3 → (B)

정답

1/3

대칭성으로 빠르게 확인. 1, 3, 5 세 숫자는 일의 자리에 올 확률이 똑같습니다. 따라서 특정 숫자(여기서는 5)가 일의 자리에 올 확률은 정확히

\frac{1}{3}

— 목록으로 센

\frac{2}{6}

\frac{1}{3}

과 일치하고 답 (B) 와도 맞습니다. 다른 선택지는 쉽게 배제됩니다: (A)

\frac{1}{6}

은 조건 만족 배열이 1 개라는 뜻이고, (C)–(E)는 3 개 이상이어야 하는데 실제로는 2 개뿐입니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 7학년 확률만 알면 됩니다 — 모든 배열을 적고, 4학년 때 배운 5의 배수 판정법을 쓰고, 조건 만족 / 전체로 나누면 끝!

여섯 가지 배열 적기
일의 자리 살피기
5로 끝나는 수 표시하기
확률 약분하기

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여섯 가지 배열 적기

일의 자리 살피기

5로 끝나는 수 표시하기

확률 약분하기

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