경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2009 · #19
학년 8 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
"가능한 세 값의 합" 이라는 표현 자체가 경우가 정확히 세 개라는 힌트라서 도구 #2(빠짐없이 나열하기)에 잘 맞습니다. "세 각 중 같은 두 각이 어느 쌍인가?" 를 기준으로 경우를 나눕니다 — 70° 두 개가 같은 경우, x° 두 개가 같은 경우, 70° 와 x° 가 같은 경우. 도구 #1(그림 그리기)로 같은 변을 표시한 간단한 스케치를 함께 그리면 각 경우가 또렷해져서 중복 없이 셀 수 있습니다.
이등변삼각형 각 표시하기
이등변삼각형을 그립니다: 같은 밑각 둘과 꼭지각 하나. 주어진 각이 각각 어느 자리에 들어가는지 정합니다.
"같은 각 두 개 + 다른 각 한 개" 라는 이등변삼각형의 구조를 알아보는 것은 4학년의 "성질로 도형 분류하기" 입니다.
4.G.A.2Draw A Diagram70을 밑각으로 두기
경우 1 — 같은 두 각이 모두 70° 이면 꼭지각 x 는 180° 의 나머지: x = 40.
"삼각형 세 각의 합은 180°" 는 8학년의 "삼각형 내각 정리에 대한 비형식적 논의" 표준입니다.
8.G.A.5Make A Systematic Listx를 밑각으로 두기
경우 2 — 같은 두 각이 모두 x° 이고 70° 가 꼭지각이면 2x + 70 = 180: x = 55.
같은 합 식에서 자리만 바꿔 푸는 깔끔한 도구 #2 분기입니다.
주어진 70° 각이 꼭지각일 때, 두 밑각은 각각 55°이다.
▸ 왜?
두 밑각은 길이가 같은 두 변에 붙어 있으므로 서로 같아야 한다; 각각을 x°라 하자.
▸ 왜?
꼭지각을 지나는 선을 따라 삼각형을 접으면 한 변이 다른 변 위에 포개지면서 한 밑각이 다른 밑각 위에 정확히 겹치므로 두 각의 크기는 같다.
▸ 왜?
이 두 개의 같은 밑각과 70° 꼭지각이 삼각형의 세 각이므로 x + x + 70 = 180이 성립한다.
▸ 왜?
어떤 평평한 삼각형이든 세 각은 언제나 평각 하나를 꼭 채운다.
▸ 왜?
2x + 70 = 180을 거꾸로 풀어 — 70을 도로 빼고 남은 110을 두 각에 똑같이 나누면 — 각 밑각의 값이 하나로 정해진다.
▸ 왜?
뺄셈은 더한 70을 되돌리고 나눗셈은 두 배를 되돌리므로 각 단계가 강제되어 답이 하나만 남는다.
70과 x를 짝짓기
경우 3 — 70° 와 x° 가 같은 두 각의 쌍이면 x = 70 (나머지 각은 40° 로 여전히 유효).
이등변삼각형의 두 밑각은 정의상 크기가 같다 — 4학년 분류 사실이 그대로 쓰입니다.
4.G.A.2Make A Systematic List세 값 더하기
세 경우 모두 유효한 삼각형이므로 가능한 x 값 40, 55, 70을 더하면 165 입니다.
가능한 각의 크기 세 개를 단순히 더하는 것은 4학년 "각은 더할 수 있다" 의 가장 기본적인 활용입니다.
4.MD.C.7Make A Systematic List"가능한 값" 을 물으면 경우를 짧게 나열해 보세요 — 이 문제는 같은 두 각의 짝을 정하는 세 가지 경우뿐, 그 답들을 더하면 끝입니다.
- 이등변삼각형 각 표시하기
- 70을 밑각으로 두기
- x를 밑각으로 두기
- 70과 x를 짝짓기
- 세 값 더하기
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