AMC 8 · 2010 · #10

학년 7 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Nested Frame / Concentric Difference

area-circlesratio-proportionfraction-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-circlesfraction-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

지름이 12 인치인 원 모양 피자가 있습니다. 크기가 모두 같은 페퍼로니 6 개가 그 지름을 따라 가장자리끼리 맞붙어 정확히 한 줄로 들어맞습니다. 같은 페퍼로니 24 개를 피자 위에 서로 겹치지 않게 놓았을 때, 페퍼로니가 덮은 부분은 피자 전체 넓이의 몇 분의 몇일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac 12$

(B)

$\frac 23$

(C)

$\frac 34$

(D)

$\frac 56$

(E)

$\frac 78$

AMC 8 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1(그림 그리기)로 문장을 그림으로 바꿉니다 — 큰 원(피자) 안에 작은 원 6 개가 지름을 따라 줄지어 있는 그림. 이 그림 한 장이면 페퍼로니 한 개의 지름이 곧 12 ÷ 6 임을 바로 알 수 있습니다. 마무리는 도구 #11(대칭·구조 찾기) 의 몫입니다 — 피자 넓이와 페퍼로니 전체 넓이 모두 π 의 배수이기 때문에 π 가 약분되고, 남는 건 깔끔한 정수 비율뿐입니다. 식을 세울 필요가 없습니다.

1STEP 1

페퍼로니 6 개가 12 인치 지름을 채우므로 한 개의 지름은 12 ÷ 6 = 2 인치, 반지름 1 인치 입니다.

페퍼로니 지름 =

\frac{12}{6}

= 2 인치 → r_페퍼 = 1 인치

2STEP 2

피자의 반지름은 6 인치이므로 넓이는 π · 6² = 36π 제곱인치입니다.

A_피자 = π · 6² = 36π 제곱인치

3STEP 3

페퍼로니 한 개의 넓이는 π 이므로, 겹치지 않는 24 개의 총 넓이는 24π 제곱인치입니다.

A_페퍼,합 = 24 · π · 1² = 24π 제곱인치

4STEP 4

덮인 비율은 $\frac{24π}{36π}$ 이고, 분자·분모의 π 가 약분되어 $\frac{24}{36}$ 만 남습니다.

\frac{A_페퍼,합}{A_피자}

\frac{24π}{36π}

\frac{24}{36}

5STEP 5

24 와 36 은 모두 12 로 나누어떨어지므로 $\frac{24}{36}$ 은 $\frac{2}{3}$ 로 약분됩니다 — (B).

\frac{24}{36}

\frac{(24 ÷ 12)}{(36 ÷ 12)}

\frac{2}{3}

→ (B)

정답

\frac{2}{3}

원 안에 원들을 빈틈없이 채우는 것은 원리상 불가능하므로 덮인 비율은 반드시 1 보다 작아야 합니다. 또, 페퍼로니 한 개의 반지름은 피자 반지름의

\frac{1}{6}

배이므로 넓이는 (

\frac{1}{6}

)² =

\frac{1}{36}

배입니다. 24 개면

\frac{24}{36}

\frac{2}{3}

— 같은 답입니다.

\frac{2}{3}

은 다른 선택지들 사이에 자연스럽게 자리 잡고, 더 큰 값

\frac{3}{4}

\frac{5}{6}

\frac{7}{8}

은 비현실적임을 함께 배제해 줍니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 7학년 때 배우는 원의 넓이 공식 A = π r² 만 알면 풀 수 있어요 — 그것도 π 가 약분되어 깔끔한 분수만 남습니다!

비슷한 유형 더 풀어보기