AMC 8 · 2010 · #11

학년 6 rate-ratio

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Direct Ratio Scale-Up

ratio-proportionlinear-equations-one-var ratio-proportionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: ratio-proportionlinear-equations-one-var

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

두 그루의 나무가 나란히 서 있습니다. 큰 나무의 꼭대기가 작은 나무의 꼭대기보다 16 피트 더 높고, 두 나무 키의 비는 작은 나무 : 큰 나무 = 3 : 4 입니다. 큰 나무의 키는 몇 피트일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

112

AMC 8 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

비 3 : 4 자체가 이미 "키가 3 인 나무" 와 "키가 4 인 나무" 라는 작은 버전 문제를 보여 줍니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 의 방식대로 작은 경우의 차이(1) 를 먼저 구하고, 실제 차이 16 피트와 같아지도록 양쪽을 똑같이 확대하면 — 대수 없이 — 답이 바로 나옵니다. 도구 #3(가능성 지우기) 은 객관식 보조 장치입니다. 큰 나무 키의 $\frac{1}{4}$ 이 곧 차이 16 이 되어야 하므로, 그 조건으로 선택지를 직접 점검해 답을 못박을 수 있습니다.

1STEP 1

축소해서 두 나무를 3, 4 피트로 놓으면 비 3 : 4 를 만족하고 차이는 4 - 3 = 1 피트입니다.

작은 경우: 키 = 3, 4 → 차이 = 4 - 3 = 1

2STEP 2

실제 차이는 16 피트, 작은 차이는 1 피트이므로 확대 비율은 16입니다.

확대 비율 =

\frac{16}{1}

= 16

3STEP 3

둘 다 확대하면 작은 나무는 3 × 16 = 48 피트, 큰 나무는 4 × 16 = 64 피트, 비는 여전히 3 : 4 이고 차이는 16 피트.

3 × 16 = 48, 4 × 16 = 64, 64 - 48 = 16 ✓

4STEP 4

선택지 확인: 큰 나무 키의 $\frac{1}{4}$ 이 차이 16 과 같아야 하므로 조건에 맞는 값은 64, 즉 (B) 뿐입니다.

\frac{1}{4}

h = 16 → h = 64 → (B)

정답

48 피트와 64 피트는 중간 크기 나무로 충분히 현실적인 값이고, 64 - 48 = 16 피트로 주어진 차이와 정확히 일치합니다. 48 : 64 의 양변을 16 으로 나누면 3 : 4 가 그대로 나오니 비 조건도 만족합니다. 따라서 선택지 중 "짝꿍 키"

\frac{3}{4}

· h 와의 차이가 정확히 16 이 되는 값은 (B) 64 뿐입니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 6학년 비·비례 추론만 알면 풀려요 — 작은 3{:}4 짝을 차이가 16 이 될 때까지 똑같이 늘려 주면 끝!

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