AMC 8 · 2010 · #13

학년 6 geometry-2d

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Percent / Fraction Recovery

perimetersequences-arithmeticpercentagelinear-equations-one-var convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: perimeterpercentagelinear-equations-one-var

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

📘 쉬운 버전 보기 →

문제

어떤 삼각형의 세 변의 길이(인치)가 연속된 세 정수입니다. 가장 짧은 변의 길이가 둘레의 정확히 30% 일 때, 가장 긴 변의 길이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 추측하고 확인하기

참고 풀이는 도구 #13(대수)으로 n = 0.3(3n+3) 을 세워 풉니다. 하지만 선택지가 가장 긴 변의 길이를 바로 알려주고, 그 값 하나로 세 변이 모두 정해집니다. 그래서 도구 #6(추측하고 확인하기)이 더 빠르고 변수도 필요 없습니다 — 각 선택지 L ∈ {7,8,9,10,11} 에 대해 세 변은 L-2, L-1, L 이고 둘레는 3L - 3 이므로, 가장 짧은 변 = 0.3 × 둘레 인지만 확인하면 됩니다. 도구 #2(체계적으로 목록 만들기)로 다섯 경우를 같은 틀에 정리하고, 도구 #3(가능성 제거하기)으로 30% 조건을 못 맞춘 후보를 지워 나갑니다. 곱셈과 소수만 쓰고 대수는 전혀 필요 없습니다.

1STEP 1

가장 긴 변을 L이라 하면 세 변은 L-2, L-1, L, 둘레는 3L-3, L-2 = 0.3×(3L-3)인지 확인합니다.

세 변 = (L-2, L-1, L), P = 3L - 3, 확인: L - 2 ?= 0.3 (3L - 3)

2STEP 2

(A) L=7: 세 변 (5,6,7), 둘레 18, 0.3×18 = 5.4 ≠ 5 이므로 (A) 탈락.

0.3 × 18 = 5.4 ≠ 5 (A) 탈락

3STEP 3

L=8,9,10: 둘레 21,24,27 → 0.3× = 6.3,7.2,8.1, 셋 다 가장 짧은 변과 안 맞아 (B),(C),(D) 탈락.

L=8:& 0.3× 21 = 6.3 ≠ 6 ; L=9:& 0.3× 24 = 7.2 ≠ 7 ; L=10:& 0.3× 27 = 8.1 ≠ 8

4STEP 4

(E) L=11: 세 변 (9,10,11), 둘레 30, 0.3×30 = 9로 가장 짧은 변과 정확히 일치하므로 가장 긴 변은 11.

L = 11: 세 변 (9,10,11), P=30, 0.3× 30 = 9 = 가장 짧은 변 ✓ → (E)

정답

세 변이 모두 같다면 각 변은 둘레의

\frac{1}{3}

≈ 33.3% 가 됩니다. 이 문제에서는 가장 짧은 변이 30% 로

\frac{1}{3}

보다 조금 작으니, 세 변이 완전히 같지는 않고 살짝 벌어져 있어야 합니다. 정답 후보 (9, 10, 11) 에서 가장 짧은 변 9 와 둘레 30 의 비는

\frac{9}{30}

= 0.30 으로 정확히 맞습니다. 삼각형 부등식도 9 + 10 = 19 ＞ 11 로 성립합니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "둘레의 30%" 같은 백분율 추론만 알면 풀 수 있어요!

비슷한 유형 더 풀어보기