AMC 8 · 2013 · #24

학년 6 geometry-2d
유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation
area-rectanglesarea-trianglescoordinate-geometry area-differencecoordinate-geometryidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-rectanglesarea-trianglescoordinate-geometry
📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형
문제
넓이가 같은 정사각형 세 개가 ㄴ자 모양으로 놓여 있습니다 — 정사각형 EFGH 는 왼쪽, GHIJ 는 오른쪽에 변 GH 를 공유하며 붙어 있고, 세 번째 정사각형 ABCD 는 그 위에 얹혀 있는데 밑변 DC 의 두 끝이 정확히 변 HE 와 IH 의 중점에 닿습니다. 색칠된 오각형 AJICB 의 넓이가 세 정사각형 전체 넓이에서 차지하는 비율을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$hspace{.05in}\frac{1}{4}$
(B)
$hspace{.05in}\frac{7}{24}$
(C)
$hspace{.05in}\frac{1}{3}$
(D)
$hspace{.05in}\frac{3}{8}$
(E)
$hspace{.05in}\frac{5}{12}$

AMC 8 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기

오각형 AJICB 는 대각선 변 AJ 가 두 정사각형을 가로지르는 까다로운 모양입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 도형 문제의 단골 — 점 C 와 I 를 지나는 가로선으로 오각형을 자르면 위쪽은 사다리꼴, 아래쪽은 직각삼각형이라는 깔끔한 두 조각이 됩니다. 도구 #1(그림 그리기)로 좌표를 매겨 두면 길이를 종이에서 바로 읽을 수 있어서 대수 식 없이 풀리고, 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 변의 길이를 s = 2 같은 친절한 값으로 잡으면 모든 거리가 정수나 절반으로 떨어집니다 — 비율은 어차피 s 와 무관하니까요.

1STEP 1

한 변을 s = 2 로 잡고 G 를 원점에 두면, 중점 조건에서 모든 꼭짓점 좌표가 정해집니다.

A(-1,4), B(1,4), C(1,2), D(-1,2), E(-2,2), H(0,2), I(2,2), J(2,0)
2STEP 2

도구 #9 로 줄이면 정사각형 하나는 2 × 2 = 4, 셋을 합치면 넓이 12 — 이제 오각형만 구하면 됩니다.

3 × (2 × 2) = 12
3STEP 3

오각형을 y = 2 로 자르면 비스듬한 AJ 가 그 선과 K(12\frac{1}{2}, 2) 에서 만나 위 AKCB 와 아래 KIJ 로 나뉩니다.

K = (12\frac{1}{2}, 2)
4STEP 4

위쪽 AKCB 는 사다리꼴: 평행변 AB = 2, KC = 12\frac{1}{2}, 높이 2 이므로 넓이는 52\frac{5}{2}.

넓이(AKCB) = 12\frac{1}{2}(2 + 12\frac{1}{2}) × 2 = 52\frac{5}{2}
5STEP 5

아래쪽 KIJ 는 직각삼각형: 두 다리 IJ = 2, KI = 32\frac{3}{2} 이므로 넓이는 32\frac{3}{2}.

넓이(KIJ) = 12\frac{1}{2} × 32\frac{3}{2} × 2 = 32\frac{3}{2}
6STEP 6

두 조각을 더하면 오각형 = 52\frac{5}{2} + 32\frac{3}{2} = 4 — 정사각형 하나와 같으니 비율은 삼분의 일, 즉 (C).

오각형/(세 정사각형) = 412\frac{4}{12} = 13\frac{1}{3} → (C)
정답
hspace{.05in}13\frac{1}{3}
오각형 넓이가 4 — 정사각형 하나의 넓이와 정확히 같다는 결과가 그림과 맞아떨어집니다. 오각형은 오른쪽 정사각형 GHIJ 를 통째로 덮고, 위쪽 정사각형 ABCD 에서는 오른쪽 일부를 더 받아 가는 대신 왼쪽 일부를 그대로 비워 둡니다. 비워 두는 삼각형과 더 받아 가는 삼각형은 합동이므로 (둘 다 다리가 1 과 32\frac{3}{2} 인 직각삼각형, s = 2 기준) 주고받는 넓이가 정확히 상쇄되어 오각형은 결국 정사각형 하나의 넓이가 됩니다. 세 정사각형 중 하나의 몫이므로 13\frac{1}{3}, 즉 (C) 와 일치합니다.
💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "다각형을 쪼개서 넓이 구하기" 만 알면 풀 수 있어요!

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