AMC 8 · 2010 · #19

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Nested Frame / Concentric Difference

area-circlespythagorean-theorem area-differenceidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-circlespythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

두 원은 같은 중심 C 를 공유합니다. 큰 원의 현 AD 는 작은 원에 점 B 에서 접합니다. AC = 10 (큰 원의 반지름)이고 AD = 16 일 때, 두 원 사이 고리 모양 영역의 넓이를 구합니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$36\pi$

(B)

$49\pi$

(C)

$64\pi$

(D)

$81\pi$

(E)

$100\pi$

AMC 8 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

그림은 이미 주어져 있지만, 핵심은 그림에 보조선을 더하는 것 입니다. 도구 #1(그림 그리기) 의 지침대로 안쪽 반지름 CB 를 접점까지 긋고 직각 표시를 하면, 빗변 R = 10 과 한 변 AB 를 가진 직각삼각형 △ CBA 가 보입니다. 이어서 도구 #5(패턴 찾기) 가 지름길을 찾아 줍니다 — 피타고라스 정리로 R² - r² = AB² 이므로, 고리의 넓이 π(R² - r²) 는 곧 π · AB². r 을 따로 구할 필요가 없습니다.

1STEP 1

안쪽 반지름 CB 를 긋습니다. AD 가 B 에서 접하므로 반지름은 접선에 수직, 즉 CB ⊥ AD 이고 △CBA 는 B 에서 직각입니다.

∠ CBA = 90°, CA = R = 10, CB = r

2STEP 2

현에 수직인 반지름은 현을 이등분하므로 B 는 AD 의 중점, 따라서 AB = 8 (16 의 절반).

AB =

\frac{1}{2}

· AD =

\frac{1}{2}

· 16 = 8

3STEP 3

직각삼각형 △CBA 에 피타고라스 정리를 쓰면 AB² + r² = R², 정리하면 넓이에 필요한 R² - r² = 64.

R² - r² = AB² = 8² = 64

4STEP 4

고리의 넓이는 큰 원에서 작은 원을 뺀 π(R² - r²). R² - r² = 64 이므로 넓이는 64π → (C).

넓이 = π R² - π r² = π(R² - r²) = 64π → (C)

정답

64π

큰 원의 넓이는 π · 10² = 100π 이므로 답은 100π 보다 작아야 합니다. 64π 는 조건에 맞습니다. 작은 원의 반지름도 확인할 수 있습니다: r² = 100 - 64 = 36 에서 r = 6, 6 ＜ 10 으로 일관됩니다. 현의 절반 AB = 8 까지 합치면 6-8-10 으로 잘 알려진 피타고라스 직각삼각형이라, 기하 관계가 자연스럽게 맞아떨어집니다.

💡핵심 정리

보조선 딱 하나(접점까지의 반지름) 만 그으면 그림이 직각삼각형을 알려 줘요 — 그러면 8학년 때 배우는 피타고라스 정리로 한 줄에 끝납니다.

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