AMC 8 · 2010 · #20

학년 7 countinglogic

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Two-Attribute Table: Fill or Optimize a Cell

fraction-arithmeticlcmset-partitioncomplementary-counting complementary-countingidentify-subproblems ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticlcm

📏 중간 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

방 안에서 정확히

\frac{2}{5}

의 사람은 장갑을 끼고 있고, 정확히

\frac{3}{4}

의 사람은 모자를 쓰고 있습니다. 두 비율 모두 사람 수가 자연수로 떨어져야 합니다. 가능한 방 인원수를 모두 고려할 때, 장갑과 모자를 둘 다 착용한 사람의 최소 인원은 몇 명일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 벤 다이어그램

둘 다 라는 신호어가 곧장 도구 #12(벤 다이어그램) 를 가리킵니다 — 장갑 원과 모자 원을 그리면 답은 두 원의 교집합에 들어 있습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 은 문제를 두 단계로 나눕니다 — 먼저 합법적인 최소 방 인원을 정하고(LCM 문제), 그 방 안에서 교집합을 셉니다. 도구 #11(극단적 경우 살펴보기) 은 "최소" 라는 단어의 정확한 의미입니다 — 두 원을 방이 허락하는 만큼 최대로 멀리 떨어뜨려서 "장갑만" 과 "모자만" 으로 자리를 먼저 채우고, 남는 만큼만 교집합으로 밀어 넣습니다.

1STEP 1

두 비율이 모두 자연수가 되는 최소 방 인원 — 5 와 4 의 최소공배수는 20 입니다.

T_min = lcm(5, 4) = 20

2STEP 2

20 명일 때 장갑 = $\frac{2}{5}$ × 20 = 8, 모자 = $\frac{3}{4}$ × 20 = 15 입니다.

|G| =

\frac{2}{5}

× 20 = 8, |H| =

\frac{3}{4}

× 20 = 15

3STEP 3

장갑 원(8)과 모자 원(15)을 그리고 교집합을 x 로 두면 네 영역의 합은 20 입니다.

(8 - x) + x + (15 - x) + (둘 다 아님) = 20

4STEP 4

겹침을 최소화하려면 "둘 다 아님" = 0 으로: 23 - x = 20, 따라서 x = 3 명이 둘 다 착용해야 합니다.

(8 - x) + x + (15 - x) + 0 = 20 → 23 - x = 20 → x = 3

5STEP 5

강제 최소값은 (A) 와 일치하고, 20 의 배수로 방을 키워도 모든 영역이 같은 배수로 커져 x = 3 을 이길 수 없습니다.

x_min = 3 → (A)

정답

x = 3 으로 벤 다이어그램을 검산: 장갑만 = 8 - 3 = 5, 둘 다 = 3, 모자만 = 15 - 3 = 12, 둘 다 아님 = 0. 합 = 5 + 3 + 12 + 0 = 20. 장갑 총합: 5 + 3 = 8 ✓. 모자 총합: 3 + 12 = 15 ✓. x = 2 라면 합집합이 8 + 15 - 2 = 21 ＞ 20 이 되어 방을 넘쳐 버립니다 — 그래서 x = 3 이 진짜 최소값입니다.

💡핵심 정리

벤 다이어그램만 그리면 "둘 다" 의 최소값은 (장갑) + (모자) - (방 전체) — 5학년 분수와 6학년 LCM 위에 7학년의 여러 단계 추론을 한 번만 얹으면 끝나요.

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