경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2011 · #12

학년 7 probability
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search
probability-basicsystematic-enumerationpermutations-basic systematic-enumerationcasework ↑ 선수 지식: probability-basic
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
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문제
네 사람 — 앤지, 브리짓, 카를로스, 디에고 — 가 정사각형 식탁의 네 변에 한 명씩 무작위로 앉습니다. 앤지 와 카를로스 가 서로 마주 보고 앉을 확률은 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
frac14
(B)
frac13
(C)
frac12
(D)
frac23
(E)
frac34

AMC 8 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 체계적으로 나열하기

동등한 결과들의 확률은 (유리한 경우)/(전체 경우) 이므로 결국 꼼꼼히 세는 문제입니다. 도구 #1(그림 그리기)로 "마주 본다" 가 정사각형에서 무슨 뜻인지 — 한 변에는 마주 보는 변이 하나, 옆에 붙은 변이 두 개 — 정리해 둡니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 표본 공간을 줄여 줍니다: 정사각형의 회전 대칭 때문에 앤지 를 한 변에 고정해도 확률이 바뀌지 않으니, 4! = 24 가지 대신 나머지 세 사람의 3! = 6 가지만 다루면 됩니다. 도구 #2(체계적으로 나열하기)로 그 6 가지를 적고, 앤지 의 맞은편에 카를로스 가 오는 경우를 세면 끝입니다.

1STEP 1

네 자리 이름 붙이기

정사각형 네 변을 위·오른쪽·아래·왼쪽으로 두면 위–아래, 왼쪽–오른쪽이 짝 — 각 변의 맞은편은 하나뿐입니다.

마주 보는 짝 = {위, 아래}, {왼쪽, 오른쪽}
2STEP 2

앤지 자리 고정하기

식탁을 돌려도 그대로이니 앤지 를 위에 고정 — 나머지 세 사람만 섞여 3! = 6가지가 남습니다.

4! = 24 → 3! = 6 가지
3STEP 3

여섯 가지 배열 나열하기

(브리짓, 카를로스, 디에고)를 (오른쪽, 아래, 왼쪽)에 앉히는 6가지를 첫 자리 알파벳순으로 나열합니다.

(B,C,D), (B,D,C), (C,B,D), (C,D,B), (D,B,C), (D,C,B)
4STEP 4

마주 보는 경우 세기

카를로스 가 가운데(아래)에 오는 경우만 유리 — (B,C,D)와 (D,C,B), 즉 6가지 중 2가지입니다.

P(카를로스 가 앤지 와 마주 봄) = 2/6 = 1/3 → (B)
정답
1/3
직관으로 한 번 더 확인합니다. 앤지 가 어느 변에 앉든, 카를로스 는 남은 3 개 변 중 하나에 동등한 확률로 앉습니다. 그 셋 중 앤지 의 맞은편은 정확히 1 자리이므로 P = 13\frac{1}{3}. 목록으로 센 26\frac{2}{6} = 13\frac{1}{3} 과 정확히 일치하고, 답 (B)입니다. 감각적으로도 합리적입니다 — 카를로스 가 갈 수 있는 위치는 "맞은편", "앤지 의 왼쪽", "앤지 의 오른쪽" 세 가지인데 그중 "맞은편" 은 가장 까다로운 한 자리이므로 12\frac{1}{2} 보다 작은 13\frac{1}{3} 이 나오는 것이 자연스럽습니다.
💡핵심 정리

앤지 를 한 변에 고정한 뒤 나머지 세 사람의 자리만 나열해서 세면, 이 AMC 8 확률 문제는 7학년의 "유리한 경우 ÷ 전체 경우" 계산으로 깔끔하게 풀려요.

  • 네 자리 이름 붙이기
  • 앤지 자리 고정하기
  • 여섯 가지 배열 나열하기
  • 마주 보는 경우 세기

가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.

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