경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2022 · #12

학년 7 probabilitycounting

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

probability-basicperfect-squaressystematic-enumeration systematic-enumerationcasework ↑ 선수 지식: probability-basicperfect-squares

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

회전판 A는 5, 6, 7, 8 네 칸으로, 회전판 B는 1, 2, 3, 4 네 칸으로 똑같이 나뉘어 있습니다. 두 회전판을 동시에 돌려 두 자리 수 N = 10 × (회전판 A) + (회전판 B) 를 만들 때, N 이 완전제곱수가 될 확률을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\dfrac{1}{16}$

(B)

$\dfrac{1}{8}$

(C)

$\dfrac{1}{4}$

(D)

$\dfrac{3}{8}$

(E)

$\dfrac{1}{2}$

AMC 8 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

표본공간이 4 × 4 = 16 가지밖에 안 되니까 전부 적어 보는 게 가장 빠릅니다 — 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 딱입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 일을 두 조각 — (가) 전체 경우의 수 16 구하기, (나) 그중 완전제곱수가 되는 경우 세기 — 로 나누면 깔끔합니다. (나)는 두 자리 수를 모두 일일이 제곱해 보는 대신, 도구 #6(추측하고 확인하기)로 범위 안에 있는 완전제곱수만 골라 봅니다 — 7² = 49는 51 보다 작고 10² = 100은 84 보다 크니까, 후보는 8² = 64와 9² = 81 뿐입니다. 마지막에 이 두 수의 자릿수가 정말 회전판으로 만들 수 있는지 확인하면 됩니다.

1STEP 1

전체 경우의 수 세기

두 회전판은 각각 4가지 결과가 독립으로 나오므로 순서쌍 (A, B)는 모두 4 × 4 = 16가지입니다.

전체 경우의 수 = 4 × 4 = 16

2STEP 2

가능한 범위 구하기

회전판 A가 십의 자리, B가 일의 자리이므로 N의 범위는 51 ≤ N ≤ 84입니다.

51 ≤ N ≤ 84

3STEP 3

가까운 완전제곱수 나열하기

7² = 49는 작고 10² = 100은 커서 범위 안 완전제곱수는 64 (= 8²)와 81 (= 9²)뿐입니다.

7² = 49, 8² = 64, 9² = 81, 10² = 100 → {64, 81}

4STEP 4

만들 수 있는지 확인하기

64는 (A, B) = (6, 4), 81은 (8, 1)로 둘 다 회전판에 있으니 유리한 경우는 2가지입니다.

유리한 순서쌍 = {(6,4), (8,1)} → 2 가지

5STEP 5

확률 구해 약분하기

확률은 유리한 경우 ÷ 전체 = $\frac{2}{16}$ 이고, 약분하면 $\frac{1}{8}$ — 선택지 (B)입니다.

P(N 이 완전제곱수) = 2/16 = 1/8 → (B)

똑같이 일어날 확률을 가진 경우들에 대해 "유리한 경우 ÷ 전체 경우" 로 확률을 정의하는 것은 7학년 확률 모형 그대로입니다.

가능한 16개의 스피너 짝은 모두 똑같이 잘 나오고 그중 정확히 두 개만 N을 완전제곱수로 만들므로, N이 완전제곱수일 확률은 그 16개 짝 중 2개다.

▸ 왜?

각 스피너는 똑같은 크기의 4칸으로 나뉘고 두 번의 회전은 서로 영향을 주지 않으므로, 스피너 A의 4가지 결과 각각을 스피너 B의 4가지 결과 각각과 짝지으면 4개짜리 묶음이 4개, 즉 모두 16개의 짝이 된다.

곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.

▸ 왜?

N은 스피너 A의 10배에 스피너 B를 더해 만들어지므로 스피너 A가 십의 자리 숫자, 스피너 B가 일의 자리 숫자가 되고, 이 때문에 N은 51과 84 사이에 놓인다.

자리값 묶기1이 열이면 10 하나, 10이 열이면 100 하나 — 각 자리는 아래 자리 열 개를 묶은 것이다.

▸ 왜?

51과 84 사이의 완전제곱수는 64와 81뿐이고, 둘 다 스피너가 실제로 낼 수 있는 십의 자리와 일의 자리로 갈라진다.

▸ 왜?

완전제곱수는 어떤 자연수를 그 자신과 곱한 수인데, 7 곱하기 7 = 49, 8 곱하기 8 = 64, 9 곱하기 9 = 81, 10 곱하기 10 = 100을 확인하면 51과 84 사이에 드는 것은 64와 81뿐이다.

곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.

▸ 왜?

64를 6개의 십과 4개의 일로, 81을 8개의 십과 1개의 일로 읽으면 그 숫자들이 스피너 위에 있음을 알 수 있다. 6과 8은 스피너 A에, 4와 1은 스피너 B에 있으므로 둘 다 실제 짝에서 나온다.

자리값 묶기1이 열이면 10 하나, 10이 열이면 100 하나 — 각 자리는 아래 자리 열 개를 묶은 것이다.

▸ 왜?

16개의 짝이 모두 똑같이 잘 나올 때, 어떤 사건의 확률은 그 사건에 유리한 짝의 수를 전체 16개 짝으로 나눈 것이므로, 유리한 두 짝은 16개 중 2개가 된다.

동등한 확률모든 결과가 동등하게 일어난다면, 사건의 확률은 유리한 경우의 수를 전체 경우의 수로 나눈 것이다.

7.SP.C.7Make A Systematic List

정답

1/8

16 가지 작은 표본공간 중 완전제곱수가 되는 경우는 2 가지뿐 — 비율이 작은 게 자연스럽습니다.

\frac{1}{8}

= 0.125는 충분히 작은 값이라 (B)와 맞아떨어집니다. (D)

\frac{3}{8}

, (E)

\frac{1}{2}

이려면 16 가지 중 6 가지나 8 가지가 완전제곱수여야 하는데, 수가 커질수록 완전제곱수는 듬성듬성해지므로 51–84 범위에 그렇게 많을 수가 없습니다. (A)

\frac{1}{16}

는 유리한 경우가 1 가지여야 하므로 64 나 81 중 하나를 빠뜨린 답입니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 7학년 "유리한 경우 ÷ 전체 경우" 확률 모형만 알면 풀 수 있어요 — 완전제곱수 찾는 부분은 3학년 곱셈 구구면 충분해요!

전체 경우의 수 세기
가능한 범위 구하기
가까운 완전제곱수 나열하기
만들 수 있는지 확인하기
확률 구해 약분하기

가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.

전체 경우의 수 세기

가능한 범위 구하기

가까운 완전제곱수 나열하기

만들 수 있는지 확인하기

확률 구해 약분하기

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