경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2011 · #16

학년 8 geometry-2d
유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation
area-trianglespythagorean-theoremisosceles-triangle identify-subproblems ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremarea-triangles
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
삼각형 A 의 세 변은 25, 25, 30 이고, 삼각형 B 의 세 변은 25, 25, 40 입니다. 둘 다 이등변삼각형입니다. 두 넓이 A 와 B 의 관계는 무엇일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$A = \dfrac{9}{16}B$
(B)
$A = \dfrac{3}{4}B$
(C)
A = B
(D)
$A = \dfrac{4}{3}B$
(E)
$A = \dfrac{16}{9}B$

AMC 8 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 그림 그리기

변의 길이만 주어진 도형 문제이므로 도구 #1(그림 그리기)이 자연스러운 첫 수입니다 — 각 이등변삼각형을 그린 뒤 꼭짓점에서 밑변에 수선을 내립니다. 그러면 수선이 밑변을 이등분해 직각삼각형 두 개가 생깁니다. 이어서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 작업을 나눕니다 — 직각삼각형 조각에서 A 를 구하고, 같은 방식으로 B 를 구한 다음 비교합니다. 직각삼각형이 나오면 피타고라스 정리로 높이를 구할 수 있고, 넓이는 1/2 × 밑변 × 높이로 바로 나옵니다.

1STEP 1

첫 삼각형 반으로 나누기

삼각형 A(25, 25, 30)를 그리면 수선이 밑변을 15 씩 이등분해 빗변 25, 한 변 15 인 직각삼각형이 생겨요.

밑변의 절반 = 30/2 = 15
2STEP 2

첫 높이 구하기

이 직각삼각형에서 피타고라스 정리로 높이 h_A = 20 을 구해요.

h_A² + 15² = 25² → h_A² = 625 - 225 = 400 → h_A = 20
3STEP 3

첫 넓이 구하기

밑변과 높이로 넓이 A 를 구해요: 12\frac{1}{2} × 30 × 20 = 300.

A = 1/2 × 30 × 20 = 300
4STEP 4

둘째 높이 구하기

삼각형 B(25, 25, 40)도 똑같이: 수선이 40을 20 씩 나눠 피타고라스 정리로 높이 h_B = 15 를 얻어요.

h_B² + 20² = 25² → h_B² = 625 - 400 = 225 → h_B = 15
5STEP 5

두 넓이 비교하기

넓이 B = 12\frac{1}{2} × 40 × 15 = 300 — A 와 똑같으니 두 넓이는 같고, 답은 (C) 예요.

B = 1/2 × 40 × 15 = 300 → A = B → (C)
정답
A = B
두 삼각형 모두 25 짜리 변 두 개를 공유하므로, 분해해서 나오는 직각삼각형의 빗변도 둘 다 25입니다. 삼각형 A 에서는 두 변이 15, 20, 삼각형 B 에서는 두 변이 20, 15 — 결국 같은 15-20-25 직각삼각형(3-4-5의 5 배)입니다. 두 이등변삼각형이 모두 이 같은 직각삼각형 두 개로 이루어져 있으니, 넓이가 둘 다 300으로 같게 나오는 것은 당연합니다. 답 (C) A=B 와 일치합니다.
💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 8학년 때 배운 피타고라스 정리만 알면 풀 수 있어요!

  • 첫 삼각형 반으로 나누기
  • 첫 높이 구하기
  • 첫 넓이 구하기
  • 둘째 높이 구하기
  • 두 넓이 비교하기

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