경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2002 · #16

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

pythagorean-theoremarea-trianglesperfect-squares identify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: area-trianglespythagorean-theorem

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

3-4-5 직각삼각형의 세 변마다 직각이등변삼각형을 바깥쪽에 하나씩 붙여 그렸습니다. 안쪽 직각삼각형의 넓이를 W, 길이 3, 4, 5 인 변에 붙은 바깥쪽 삼각형의 넓이를 각각 X, Y, Z 라 합시다. 다섯 개 후보 식 중 항상 참인 것은 무엇일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

X+Z=W+Y

(B)

W+X=Z

(C)

3X+4Y=5Z

(D)

$X+W=\frac{1}{2}(Y+Z)$

(E)

X+Y=Z

AMC 8 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 관련 문제 활용하기

직각삼각형의 세 변마다 같은 종류의 도형을 하나씩 붙인 구도 — 이건 피타고라스 정리 증명에서 늘 나오는 그림입니다. 도구 #10(관련 문제 활용하기)은 다섯 개 선택지를 일일이 따져 보는 대신 3² + 4² = 5²를 그대로 쓰자고 알려 줍니다. 길이 s 인 변 위의 바깥쪽 삼각형 넓이는 1/2s² 이므로, 세 바깥쪽 넓이는 세 변의 제곱의 정확히 절반. 피타고라스 식의 양변에 1/2만 곱하면 X+Y=Z 가 나옵니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 W, X, Y, Z 를 하나씩 계산하고 선택지에 대입하는 정리 작업을 담당합니다.

1STEP 1

W의 넓이 구하기

안쪽 3-4-5 삼각형은 두 다리 3, 4가 직각을 이루니 넓이는 W = 6.

W = 1/2 · 3 · 4 = 6

2STEP 2

X, Y, Z의 넓이 구하기

각 바깥쪽 45-45-90 삼각형은 두 다리가 공유 변 s 와 같아 넓이 $\frac{1}{2}$ s²: X = 4.5, Y = 8, Z = 12.5.

X = 1/2 · 3² = 4.5, Y = 1/2 · 4² = 8, Z = 1/2 · 5² = 12.5

3STEP 3

피타고라스 관계 찾기

안쪽 삼각형이 3-4-5 이므로 3² + 4² = 5²; 양변을 반으로 나누면 바깥쪽 넓이가 X + Y = Z 를 만족.

3² + 4² = 5² → 1/2 · 3² + 1/2 · 4² = 1/2 · 5² → X + Y = Z

8학년 "피타고라스 정리 적용" — 직각삼각형의 세 변 위에 닮은 도형을 하나씩 붙이면, 세 도형이 변 위 정사각형의 같은 비율을 차지하므로 항상 바깥_a + 바깥_b = 바깥_c 가 성립.

긴 변 위에 세운 바깥 삼각형의 넓이는 두 짧은 변 위에 세운 두 바깥 삼각형의 넓이를 합한 것과 같다.

▸ 왜?

각 바깥 삼각형은 두 직각변의 길이가 맞닿은 변의 길이와 같은 직각삼각형이므로, 그 넓이는 그 변을 두 번 곱한 값의 절반, 즉 그 변 위 정사각형의 절반이 되어 1/2 · 3², 1/2 · 4², 1/2 · 5²이 된다.

▸ 왜?

그 직각삼각형 두 개를 하나 뒤집어 맞대면 그 변 위의 정사각형을 꽉 채우므로, 삼각형 하나는 정사각형의 절반이다.

▸ 왜?

한 개를 뒤집어 다른 하나에 맞대어도 크기가 변하지 않으므로, 두 조각은 정사각형의 합동인 절반이다.

강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).

▸ 왜?

두 삼각형이 빈틈이나 겹침 없이 정사각형을 채우므로, 두 넓이를 더하면 정사각형 전체가 된다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

▸ 왜?

이제 모든 넓이가 정사각형의 절반으로 쓰였으므로, 두 작은 넓이의 합이 가장 큰 넓이와 같아지는 것은 정확히 3² + 4² = 5²일 때이다.

▸ 왜?

각 정사각형을 절반으로 만든 뒤 더하는 것은 정사각형들을 먼저 더한 뒤 절반으로 만드는 것과 같으므로, 1/2 · 3² + 1/2 · 4² = 1/2(3² + 4²)이다.

분배법칙(b와 c)를 a묶음 만든 것은 b를 a묶음, c를 a묶음 만든 것과 같다 — 묶음을 나눌 수 있다.

▸ 왜?

안쪽 삼각형은 길이 3과 4인 두 변이 직각으로 만나고 빗변이 5이므로, 두 변 위 정사각형의 합이 빗변 위 정사각형과 같아 3² + 4² = 5²이다.

피타고라스 정리직각삼각형에서 두 변의 제곱의 합은 빗변의 제곱과 같다(a²+b²=c²).

8.G.B.7Create A Physical Representation

4STEP 4

선택지와 맞춰 보기

W=6, X=4.5, Y=8, Z=12.5를 대입하면 오직 (E) 만 성립: X + Y = 12.5 = Z.

X+Y = 4.5 + 8 = 12.5 = Z → (E)

정답

X+Y=Z

서로 다른 두 경로가 같은 결론을 줍니다. 직접 계산: W=6, X=4.5, Y=8, Z=12.5로 (E)만 수치적으로 성립. 구조적 논증: 각 바깥쪽 넓이는 그 변 위 정사각형의

\frac{1}{2}

배이므로, 피타고라스 식 3²+4²=5²에

\frac{1}{2}

만 곱하면 X+Y=Z 가 3-4-5 뿐 아니라 모든 직각삼각형에서 성립. 구조적 관점은 W 가 정답 식에 등장하지 않는 이유도 설명해 줍니다 — W 는 안쪽 삼각형이고 어떤 변 위에도 "붙은" 도형이 아니기 때문.

💡핵심 정리

3-4-5 직각삼각형의 세 변 위에 직각이등변삼각형을 붙인 그림은 결국 피타고라스 그림 — 각 넓이가 "변 위 정사각형" 의 절반이라, 3²+4²=5²가 그대로 X+Y=Z 로 옮겨집니다.

W의 넓이 구하기
X, Y, Z의 넓이 구하기
피타고라스 관계 찾기
선택지와 맞춰 보기

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W의 넓이 구하기

X, Y, Z의 넓이 구하기

피타고라스 관계 찾기

선택지와 맞춰 보기

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