AMC 8 · 2011 · #19

학년 4 counting

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Count of Type

systematic-enumerationcombinations-basicarea-rectangles caseworksystematic-enumerationidentify-subproblems ↑ 선수 지식: systematic-enumeration

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

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문제

그림은 세 개의 직사각형이 겹쳐져 있습니다 — 가운데의 정사각형, 그 왼쪽을 가로지르는 폭이 넓은 가로 직사각형, 그리고 오른쪽을 세로로 가로지르는 긴 세로 직사각형입니다. 네 변이 모두 그려진 선분 위에 놓이는 모든 직사각형의 개수를 세어 보세요 — 작은 조각, 큰 직사각형 셋, 그 사이의 어떤 것도 빠뜨리지 않고요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 체계적인 목록 만들기

복잡한 그림에서 눈대중으로 직사각형을 세면 빠뜨리거나 중복하기 쉽습니다. 그래서 도구 #2(체계적인 목록 만들기)가 가장 안전한 계획이에요 — 직사각형을 크기별로 또는 어느 큰 직사각형 안에 들어 있는지에 따라 정렬해서 세어 봅니다. 도구 #1(그림 그리기)으로 세 원래 직사각형을 S(가운데 정사각형), H(가로), V(세로) 로 이름 붙이고 변이 만나는 곳을 표시해 두면 도움이 됩니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 (a) 큰 직사각형 세 개, (b) H가 정사각형을 가로지르며 만드는 추가 직사각형, (c) V가 정사각형을 가로지르며 만드는 추가 직사각형, (d) H와 V가 서로 겹치는 부분의 직사각형 — 이런 부분 문제로 카운트를 나눠 줍니다.

1STEP 1

원래 그려진 세 직사각형 S(정사각형), H(가로), V(세로) 자체가 직사각형이라 바로 3 개입니다.

큰 직사각형 = {S, H, V} → 3

2STEP 2

S 안에서 두 자름이 2×2 격자를 만들어, 작은 조각 4 개와 반쪽 직사각형 4 개로 8 개가 새로 생깁니다.

4 작은 조각 + 4 반쪽 조각 = 8 개 S 안의 새 직사각형

3STEP 3

격자 공식 C(3,2)×C(3,2) = 9 로 확인되고, 이미 센 정사각형 S 를 빼면 8 개가 새로 생깁니다.

C(3, 2) × C(3, 2) = 3 × 3 = 9; 9 - 1 = 8 개 새 직사각형

4STEP 4

H 와 V 가 S 밖으로 튀어나온 부분은 새 직사각형을 만들지 않습니다 — 바깥 변이 H·V 자체의 변이라 이미 셌으니까요.

3 큰 직사각형 + 8 개 S 안 + 0 개 튀어나온 부분 = ?

5STEP 5

모두 더하면 큰 직사각형 3 개 + S 안 새 직사각형 8 개 = 11, 정답 (D) 입니다.

3 + 4 + 4 = 11 → (D)

정답

선택지가 8 부터 12 까지 놓여 있고, 빠르게 어림해 봐도 큰 직사각형 3 개 + 2 × 2 격자의 작은 조각 4 개 = 7 개는 확실히 있으므로 답은 7 보다 큽니다. 거기에 S의 "반쪽" 직사각형 4 개(위쪽 반, 아래쪽 반, 왼쪽 반, 오른쪽 반)를 더하면 11 이 되고, 그 이상을 추가하려면 실제로 그려지지 않은 변을 사용하게 되므로 11 이 최대값입니다 — 정확히 선택지 (D).

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 그림을 깔끔한 조각으로 나눠서 더하는 4학년 "꼼꼼한 세기" 만 알면 풀 수 있어요!

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