AMC 8 · 2011 · #21

학년 4 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

prime-numberslogical-deductionsystematic-enumeration logical-deductioncaseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: prime-numbers

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

학생 10 명이 노브(Norb)의 나이를 24, 28, 30, 32, 36, 38, 41, 44, 47, 49 로 추측했습니다. 노브는 정답에 대해 세 가지 단서를 줍니다 — (1) 적어도 절반의 추측이 실제 나이보다 작다, (2) 정확히 두 개의 추측이 실제 나이와 1 차이가 난다 (하나는 한 살 위, 하나는 한 살 아래), (3) 나이는 소수(prime) 이다. 노브의 나이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 가능성 지우기

세 개의 단순한 조건이 유한한 후보 집합을 차례로 잘라 내는 구조 — 도구 #3(가능성 지우기) 이 가장 자연스러운 첫 수입니다. 도구 #2(체계적으로 나열하기) 는 "1 만큼 차이" 단서로부터 짧은 후보 목록을 만드는 역할 — 추측 목록에서 차이가 정확히 2 인 쌍을 찾으면, 나이는 그 쌍의 한가운데에 있습니다. 그다음 "36 보다 커야 한다" 조건으로 작은 후보를 지우고, 마지막에 "소수" 조건으로 정답을 확정합니다. 대수도 필요 없이, 세 번의 필터만으로 끝납니다.

1STEP 1

10 의 절반은 5 이므로 작은 쪽 다섯 추측(24, 28, 30, 32, 36)이 모두 너무 작아야 하고, 나이는 36 보다 크다.

\frac{1}{2}

× 10 = 5 → 나이 ＞ 36

2STEP 2

x-1 과 x+1 이 모두 목록에 있어야 하므로 차이가 2 인 쌍을 찾으면, 후보는 29, 31, 37, 48.

{(28,30), (30,32), (36,38), (47,49)} → x ∈ {29, 31, 37, 48}

3STEP 3

후보에 '36 보다 크다' 조건을 걸면 29 와 31 이 지워지고 37 과 48 이 남습니다.

{29, 31, 37, 48} ∩ {x : x ＞ 36} = {37, 48}

4STEP 4

37 은 소수지만 48 = 2 × 24 는 합성수이므로 소수 단서로는 37 만 남습니다.

37 은 소수, 48 = 2 × 24 는 합성수

5STEP 5

노브의 나이는 37 살, 즉 선택지 (C) 입니다.

나이 = 37 → (C)

정답

세 단서를 37 에 대해 직접 확인합니다. (1) 37 보다 작은 추측은 24, 28, 30, 32, 36 의 5 개 — 10 의 절반과 정확히 일치하므로 "적어도 절반" 조건 만족. (2) 37 - 1 = 36 과 37 + 1 = 38 이 모두 목록에 있으므로 "1 만큼 차이" 조건 정확히 만족. (3) 37 은 소수. 세 조건이 모두 통과하고, 다른 선택지는 어느 하나가 깨집니다 — 예를 들어 43 은 42 가 목록에 없으니 "1 만큼 차이" 가 깨지고, 29 와 31 은 "36 보다 커야 한다" 가 깨집니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "소수인지 합성수인지" 판단과 "36 보다 큰가?" 같은 크기 비교만 알면 풀 수 있어요!

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