AMC 8 · 2011 · #24

학년 4 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

prime-numbersparitydivisibility-rules caseworkprimality-testcomplementary-counting ↑ 선수 지식: prime-numbersparity

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

10001 을 두 소수의 합으로 나타내는 방법이 몇 가지인지 세는 문제입니다. 두 소수의 순서는 구분하지 않습니다(p + q 와 q + p 는 같은 한 가지로 셉니다).

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 가능성 지우기

10001 보다 작은 소수를 일일이 나열하는 건 불가능에 가까우니, 합의 홀짝 패턴(도구 #5)으로 후보를 단숨에 좁힙니다. 홀+홀=짝, 짝+짝=짝, 홀+짝=홀이라서 10001 같은 홀수가 되려면 두 소수 중 정확히 하나가 짝수여야 합니다. 짝수 소수는 2 뿐이므로 도구 #3(가능성 지우기)으로 무한히 많은 경우가 단 한 쌍 (2, 9999) 으로 줄어듭니다. 마지막엔 9999 가 소수인지 약수 하나만 확인하면 끝납니다.

1STEP 1

10001 은 일의 자리가 1 이라 홀수이고, 홀수 합이 되려면 정확히 한 항만 짝수여야 합니다.

홀 + 홀 = 짝, 짝 + 짝 = 짝, 홀 + 짝 = 홀

2STEP 2

2 보다 큰 짝수는 2 를 약수로 가져 합성수이므로, 짝수 소수는 2 뿐이고 그것이 짝수 항입니다.

짝수 소수 = {2}

3STEP 3

한 소수가 2 라면 다른 항은 10001 - 2 = 9999 이므로, 유일한 후보 쌍은 (2, 9999) 입니다.

10001 - 2 = 9999

4STEP 4

9999 의 자릿수 합은 9+9+9+9 = 36 으로 3 의 배수라서 9999 는 3 으로 나누어져 합성수입니다.

9+9+9+9 = 36, 36 ÷ 3 = 12 → 9999 = 3 × 3333

5STEP 5

유일한 후보 (2, 9999) 는 9999 가 합성수라 탈락하니, 10001 은 두 소수의 합으로 0 가지입니다.

경우의 수 = 0 → (A)

정답

홀짝 논리를 확인하려고 작은 사례를 검토합니다 — 10 = 3 + 7 = 5 + 5 (짝수 합 → 홀+홀이 됨), 그러나 9 = 2 + 7 처럼 홀수 합은 한 항이 2 가 되어야 합니다. 패턴이 우리 논리와 일치합니다. 본문제에서도 10001 - 2 = 9999 이고, 자릿수 합 판정으로 9999 가 3 의 배수임이 정확히 잡힙니다. 답 0 은 홀짝 추론과 약수 판정 양쪽 모두와 정합합니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "소수/합성수" 추론만 알면 풀 수 있어요!

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