경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2011 · #3
학년 6 geometry-2d
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AMC 8 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
이 문제는 그림이 곧 풀이입니다. 도구 #1(그림 그리기)로 도형을 동심 정사각형 — 1 × 1 흰 중심, 그 바깥의 3 × 3 검은 띠, 다시 그 바깥의 5 × 5 흰 띠 — 로 본 뒤, 머릿속에서 7 × 7 검은 띠를 한 겹 더 두르면 됩니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 세기를 두 단계로 나눠 줍니다 — (a) 새로 두른 검은 테두리에 들어가는 타일 수(정사각형 두 개의 넓이 차)와 (b) 그것을 기존 개수에 더했을 때의 합계. 흰 타일 수는 그대로이므로 실제 계산은 새 검은 타일을 세는 것뿐입니다.
겹친 정사각형 그려 보기
동심 정사각형으로 보면 3² - 1² = 8 검정, 17 흰색 으로 주어진 개수와 맞습니다.
정사각형 띠의 타일 수를 "바깥 정사각형 넓이 - 안쪽 정사각형 넓이" 로 구하는 것은 3학년 "넓이는 곱셈" 그대로입니다.
3.MD.C.7Draw A Diagram새 한 변의 길이 구하기
한 겹 테두리는 변을 2 늘려 도형이 7 × 7, 즉 49 개 타일이 됩니다.
정사각형에 한 겹의 테두리를 두르면 변 길이가 항상 2 만큼 늘어난다 — 한 번 그려 두면 잊히지 않는 관찰입니다.
3.MD.C.7Draw A Diagram새 테두리 타일 세기
새 테두리는 7 × 7 에서 5 × 5를 뺀 부분이라 7² - 5² = 24 개의 검은 타일입니다.
"큰 정사각형 - 작은 정사각형" 은 1단계에서 이미 쓴 패턴 그대로 — 3 대 1 에서 7 대 5로 크기만 바뀐 같은 작업입니다.
정사각형 둘레에 덧붙인 검은 타일은 24개짜리 띠를 이루며, 이는 7 × 7 정사각형의 타일 수에서 5 × 5 정사각형의 타일 수를 뺀 값과 같다.
▸ 왜?
이 띠는 새 7 × 7 정사각형에서 옛 5 × 5 정사각형에 속하지 않는 부분 전부이고, 안쪽 정사각형과 띠가 겹침도 빈틈도 없이 전체를 채우므로, 띠의 개수는 전체에서 안쪽 정사각형을 뺀 것이다.
▸ 왜?
7 × 7 도형을 안쪽 5 × 5 덩어리와 바깥 띠로 자르면 빠뜨린 타일도 두 번 센 타일도 없으므로, 두 조각을 다시 더하면 전체 49개가 된다.
▸ 왜?
안쪽 덩어리에 띠를 더하면 전체가 되므로, 전체에서 안쪽 덩어리를 덜어내면 정확히 띠만 남는다 — 뺄셈이 그 덧셈을 되돌리기 때문이다.
▸ 왜?
7 × 7 정사각형은 7 × 7 = 49개, 5 × 5 정사각형은 5 × 5 = 25개의 타일을 담는데, 단위 타일로 채운 정사각형은 그만큼의 줄이 각각 그만큼의 타일을 가진 것이기 때문이다.
▸ 왜?
새 정사각형의 한 변이 7개인 까닭은 5개짜리 변에 타일 띠 하나를 두르면 양 끝에 한 개씩 놓이고, 하나에 5, 다시 하나를 더하면 7이 되기 때문이다.
타일 총수 갱신하기
기존과 새 검정을 더하면 8 + 24 = 32, 흰색은 그대로 17. 검산: 32 + 17 = 49 = 7 × 7. ✓
"기존" 과 "새로" 를 갈라 두면 세기는 작은 덧셈으로 끝나고, 합계 49가 계산이 맞았는지 확인해 줍니다.
3.OA.A.3Identify Subproblems검정 대 흰색 비 쓰기
17은 소수라 32를 나누지 못하므로 검정 : 흰색 = 32 : 17 이 이미 기약비 — 선택지 (D).
비는 두 개수를 비교하는 표현일 뿐이라, 32와 17만 나오면 답은 바로 보입니다.
6.RP.A.1Identify Subproblems이 AMC 8 문제는 3학년 "큰 정사각형 - 작은 정사각형" 넓이 사고에 6학년 비 표현만 얹으면 풀 수 있어요!
- 겹친 정사각형 그려 보기
- 새 한 변의 길이 구하기
- 새 테두리 타일 세기
- 타일 총수 갱신하기
- 검정 대 흰색 비 쓰기
가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.
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