AMC 8 · 2012 · #12

학년 4 number-theory

유형 Modular Cycle Frequency Count └ 세부 유형 Power-Cycle Residue

units-digit-trackingexponentsmodular-arithmeticpattern-recognition pattern-recognitionmodular-arithmetic-mod-10 ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticexponents

📏 짧은 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

13²⁰¹² 의 일의 자리 숫자만 구하는 문제입니다. 수 전체가 아니라 마지막 한 자리만 알면 됩니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$hspace{.05in}1$

(B)

$hspace{.05in}3$

(C)

$hspace{.05in}5$

(D)

$hspace{.05in}7$

(E)

$hspace{.05in}9$

AMC 8 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 패턴 찾기

지수 2012 는 직접 계산하기엔 너무 크기 때문에, 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 로 3¹, 3², 3³, … 처럼 작은 거듭제곱부터 일의 자리만 살펴봅니다. 그 다음 도구 #5(패턴 찾기) 가 바통을 받습니다 — 3 의 거듭제곱은 일의 자리가 {3, 9, 7, 1} 로 4 개씩 반복하기 때문에, 주기 길이만 알면 2012 번째 값은 나눗셈의 나머지 한 번으로 끝납니다. 깔끔한 주기가 보이므로 도구 #13(대수로 바꾸기) 은 굳이 쓸 필요가 없습니다.

1STEP 1

곱의 일의 자리는 인수의 일의 자리에서만 나오므로, 13²⁰¹² 의 끝자리는 더 쉬운 3²⁰¹² 와 같습니다.

13²⁰¹² 의 일의 자리 = 3²⁰¹² 의 일의 자리

2STEP 2

3 의 거듭제곱을 몇 개 계산해 일의 자리만 적으면 3, 9, 7, 1 이 나옵니다.

3¹ = 3 → 3; 3² = 9 → 9; 3³ = 27 → 7; 3⁴ = 81 → 1; 3⁵ = 243 → 3

3STEP 3

일의 자리는 고정된 블록으로 반복됩니다 — 주기 3, 9, 7, 1 의 길이는 4 입니다.

주기 = (3, 9, 7, 1), 길이 = 4

4STEP 4

지수를 주기 길이로 나눠 2012 의 위치를 찾습니다: 2012 ÷ 4 는 나머지 0 입니다.

2012 ÷ 4 = 503 나머지 0

5STEP 5

나머지 0 은 블록의 마지막 자리를 가리키고, 그 일의 자리는 1 이므로 13²⁰¹² 도 1 로 끝납니다.

13²⁰¹² 의 일의 자리 = 1 → (A)

정답

확인 가능한 작은 지수로 주기를 점검해 봅시다. 3⁸ = 6561 은 일의 자리가 1, 우리 규칙으로는 8 ÷ 4 의 나머지가 0 이므로 "주기의 마지막 = 1" — 일치합니다. 3¹⁰ = 59049 는 일의 자리가 9, 10 ÷ 4 = 2 나머지 2 이므로 주기의 2 번째 자리 = 9 — 또 일치합니다. 주기가 신뢰할 만하므로 3²⁰¹² 의 일의 자리가 1 이라는 결론도 안심할 수 있습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 4학년 "패턴 찾기" 만 알면 풀 수 있어요 — 주기를 찾고, 나눗셈으로 위치를 찾고, 그 자리의 숫자를 읽으면 끝!

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