AMC 8 · 2012 · #13

학년 6 number-theory

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Multiplicative Rate or Series

gcdprime-factorizationdivisibility-rulesfactors convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticprime-factorization

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

같은 학교 서점에서 자마(Jamar)는 연필 몇 자루를 사고 1.43 을, 샤로나(Sharona)는 같은 종류의 연필을 사고 1.87 을 냈습니다. 연필 한 자루의 가격은 1 센트보다 비싼 정수(센트)입니다. 샤로나는 자마보다 연필을 몇 자루 더 샀을까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

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(B)

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(C)

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(D)

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(E)

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AMC 8 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 추측하고 확인하기

연필 한 자루 가격 c 는 143 과 187 을 모두 나누어떨어져야 하고, 문제에서 c ＞ 1 이라고 못 박았습니다. 도구 #13(대수로 바꾸기)로 j · c = 143, s · c = 187 의 간단한 두 식을 세우면 "c 는 공약수"라는 사실이 한눈에 보입니다. 그다음에는 도구 #6(추측하고 확인하기) 이 가장 가벼운 길 — 작은 소수(2, 3, 5, 7, 11, …)를 차례로 143 에 대입해서 맞는 걸 찾고, 그게 187 도 나누는지 확인하면 끝입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 은 "c 찾기 → j, s 찾기 → 차 구하기" 의 세 조각으로 풀이를 깔끔하게 나눠 줍니다.

1STEP 1

금액을 센트로 바꾸고 미지수 c, j, s 를 정해 두 식 j·c = 143, s·c = 187 (c ＞ 1) 을 세웁니다.

j · c = 143, s · c = 187, c ＞ 1

2STEP 2

c 가 두 총액을 모두 나누므로, 143 에 작은 소수를 대입해 143 = 11 × 13 을 얻습니다.

143 ÷ 2 = 71.5 아님; 143 ÷ 3: 자릿수 합 8 이므로 아님; 143 ÷ 5: 끝자리 0, 5 아니므로 아님; 143 ÷ 7 = 20.4… 아님; 143 ÷ 11 = 13 맞음 → 143 = 11 × 13

3STEP 3

같은 소수를 다른 총액에도 확인하면 187 = 11 × 17 이므로 11 이 둘 다 나눕니다.

187 ÷ 11 = 17 → 187 = 11 × 17

4STEP 4

143 과 187 의 공약수는 1 과 11 뿐이고 c ＞ 1 이 1 을 지우므로 c = 11 센트로 확정됩니다.

gcd(143, 187) = 11

5STEP 5

다시 나누면 j = 13, s = 17 이므로 샤로나는 s - j = 4 자루 더 샀습니다 — (C).

j = 143 ÷ 11 = 13, s = 187 ÷ 11 = 17 → s - j = 17 - 13 = 4 → (C)

정답

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단위와 답의 크기를 점검합니다. 한 자루 11 센트일 때 13 자루는 13 × 11 = 143 센트 = 1.43, 17 자루는 17 × 11 = 187 센트 = 1.87 로 두 총액이 정확히 맞습니다. 차 17 - 13 = 4 도 선택지 안에 있는 작은 양의 정수입니다. 만약 c = 1 페니였다면 차는 187 - 143 = 44 가 되어 어떤 선택지와도 맞지 않으니, 문제의 "c ＞ 1" 단서가 정말 핵심 조건이었음을 확인할 수 있습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 6학년 최대공약수만 알면 풀려요 — 1 센트보다 큰 공통 약수 하나를 찾고, 나눠서 자루 수를 구하면 끝!

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