AMC 8 · 2012 · #23

학년 7 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

perimeterarea-trianglessimilar-figuresratio-proportion identify-subproblemseasier-related-problem ↑ 선수 지식: perimeterarea-trianglesratio-proportion

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

정삼각형과 정육각형의 둘레가 같습니다. 정삼각형의 넓이가 4 일 때 정육각형의 넓이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

$4\sqrt{3}$

(E)

$6\sqrt{3}$

AMC 8 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

그림이 주어지지 않은 평면 도형 문제이므로 도구 #1(그림 그리기)이 가장 자연스러운 출발입니다. 정육각형을 직접 그려 보면 핵심 사실이 보입니다 — 정육각형은 중심을 기준으로 6 개의 작은 정삼각형으로 정확히 쪼개진다는 점입니다. 그 순간 "정육각형 넓이 = 6 × 작은 정삼각형 넓이" 라는 합으로 바뀝니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 풀이를 두 단계로 나눠 줍니다 — (a) 큰 정삼각형의 변과 작은 정삼각형의 변의 관계를 구하고, (b) 그 변의 비를 이용해 작은 정삼각형 넓이를 구한 뒤 6 배 하면 끝. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 변의 비 → 넓이의 비 관계를 책임집니다 — 모든 정삼각형은 닮은 도형이므로 변이 2 배가 되면 넓이는 2² = 4 배가 됩니다. $\frac{√(3)}{4}$ s² 공식이 전혀 필요 없습니다.

1STEP 1

둘레가 같으므로 3 s_t = 6 s_h, 즉 s_t = 2 s_h — 정삼각형 변은 정육각형 변의 2배.

3 s_t = 6 s_h → s_t = 2 s_h

2STEP 2

정육각형을 중심에서 합동인 정삼각형 6개로 자르면 한 변이 모두 s_h — 넓이는 작은 삼각형 여섯 개분.

A_육 = 6 · A_작

3STEP 3

두 정삼각형은 닮음이고 변의 비는 2, 넓이는 2²배 — 큰 정삼각형은 작은 것의 4배.

\frac{A_큰}{A_작}

= (

\frac{s_t}{s_h}

)² = 2² = 4

4STEP 4

큰 정삼각형 넓이 4는 작은 것의 4배이므로, 작은 정삼각형 하나의 넓이는 1.

A_작 =

\frac{A_큰}{4}

\frac{4}{4}

= 1

5STEP 5

넓이 1인 작은 정삼각형 여섯 개가 정육각형을 채우므로 넓이는 6 — 선택지 (C).

A_육 = 6 · 1 = 6 → (C)

정답

큰 정삼각형은 긴 변 3 개로 넓이 4 를 만들고, 정육각형은 더 짧은 변 (s_h =

\frac{1}{2}

s_t) 이지만 6 개로 둘러싸여 모양이 원에 훨씬 더 가깝습니다. 같은 둘레라면 원에 가까운 모양일수록 넓이가 더 크다는 직관과 맞아떨어지므로, 정육각형의 넓이가 4 보다 커지는 것은 자연스럽습니다. 답 6 은 "정육각형 = 단위 정삼각형 6 개" 그림과도 완벽히 일치합니다. 나머지 선택지는 이 그림과 맞지 않습니다 — 4 는 변화가 없다는 뜻이고, 5 는 6 등분과 어긋나며, √(3) 이 들어간 선택지들은

\frac{√(3)}{4}

s² 공식을 잘못 적용한 결과로 보입니다.

💡핵심 정리

정육각형을 작은 정삼각형 6 개로 잘라 보면 됩니다. 큰 정삼각형은 그 작은 삼각형과 모양은 같고 변만 2 배라서 넓이는 4 배. 그러니 작은 정삼각형 넓이는 1, 정육각형은 6 × 1 = 6 입니다.

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