경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2013 · #16
학년 6 rate-rationumber-theory답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
두 비가 공통 항(8학년)을 가지고 있지만 값이 서로 다릅니다(5와 8). 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 (1) 두 비의 8학년 값이 같아지도록 비를 다시 맞추는 부분 문제와 (2) 맞춰진 비를 하나의 세 항 비로 합쳐 더하는 부분 문제로 깔끔하게 나눌 수 있습니다. 두 부분 문제를 잇는 다리는 8학년 자리에 공통으로 들어갈 수 — 즉 lcm(5, 8) — 입니다. 도구 #6(추측하고 확인하기)은 검토 단계에서 작은 선택지(16, 40, 55, 79)를 빠르게 배제할 때 사용합니다.
8학년 수 맞추기
부분 문제 1: 두 비의 8학년 항을 같게 — 가장 작은 공통값은 lcm(5, 8) = 40.
작은 두 수의 최소공배수 구하기는 6학년 수 체계 표준 내용입니다.
6.NS.B.4Identify Subproblems첫 번째 비 늘리기
8학년 : 6학년 = 5 : 3에 ×8 → 8학년 항이 40이 되어 40 : 24.
비의 두 항에 같은 수를 곱하면 동치 비가 되는 6학년 비율 추론의 기본 동작입니다.
6.RP.A.3Identify Subproblems두 번째 비 늘리기
8학년 : 7학년 = 8 : 5에 ×5 → 8학년 항도 40이 되어 40 : 25.
다른 비에도 같은 6학년 동작을 적용해 두 비가 8학년에 대해 같은 언어로 말하게 만듭니다.
6.RP.A.3Identify Subproblems하나의 비로 합치기
부분 문제 2: 둘 다 40을 공유하니 40 : 25 : 24로 합쳐지고, gcd = 1이라 이미 최소 자연수 비입니다.
두 항 비를 공통 항으로 맞춰 세 항 비로 확장하는 것은 6학년 비율 언어의 기본기입니다.
두 주어진 비율을 동시에 만족하는 8^th·7^th·6^th학년 학생 수의 가장 작은 자연수 조합은 40 : 25 : 24이다.
▸ 왜?
두 비율 모두 8^th학년을 40으로 다시 쓸 수 있고, 그 40은 두 비율에서 똑같은 학생 무리이므로 서로 떨어져 있던 두 비교가 하나의 목록 40 : 25 : 24로 맞물린다.
▸ 왜?
비율의 두 항에 같은 자연수를 곱하면 동치인 비율이 되므로, 5 : 3은 (8배 하여) 40 : 24가 되고 8 : 5는 (5배 하여) 40 : 25가 되어도 여전히 같은 무리를 나타낸다.
▸ 왜?
8^th학년은 하나뿐인 무리이므로 첫째 비율에서 읽은 수와 둘째 비율에서 읽은 수가 같아야 하고, 둘 다 40이 되는 순간 6^th·7^th학년 수가 그 공통 기준에 매달려 하나의 척도 위에 놓인다.
▸ 왜?
8^th학년 수는 40보다 작을 수 없는데, 그 수는 (5 : 3에서) 5씩으로도 도달하고 (8 : 5에서) 8씩으로도 도달하는 수여야 하며 그 둘이 처음으로 함께 도달하는 수가 40이기 때문이다.
▸ 왜?
비율 5 : 3은 8^th학년을 5개씩 같은 묶음으로 나누어 주고 8 : 5는 8개씩 같은 묶음으로 나누어 주므로, 그 수는 5의 자연수 배수이면서 8의 배수이기도 하다.
▸ 왜?
5의 배수(5, 10, …, 40)와 8의 배수(8, 16, …, 40)가 처음으로 만나는 곳이 40이므로, 40은 5와 8의 최소공배수 — 두 묶음 크기가 함께 도달할 수 있는 가장 작은 수다.
세 수 더하기
최소 자연수 항을 모두 더하면 40 + 25 + 24 = 89 → (E).
비가 더 줄지 않는 형태가 됐을 때 각 항을 더한 값이 가능한 최소 전체 학생 수입니다.
6.RP.A.3Identify Subproblems이 AMC 8 문제는 6학년 비율 추론만으로 풀려요 — lcm으로 공통 항을 맞춘 다음 각 항을 더하면 끝!
- 8학년 수 맞추기
- 첫 번째 비 늘리기
- 두 번째 비 늘리기
- 하나의 비로 합치기
- 세 수 더하기
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