AMC 8 · 2013 · #20

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid

area-circlespythagorean-theoremreflection-symmetry identify-subproblems ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremarea-circles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

1 × 2 직사각형이 반원 안에 들어가 있고, 긴 변(길이 2)이 반원의 지름 위에 놓여 있습니다. 이 반원의 넓이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{\pi}{2}$

(B)

$\frac{2\pi}{3}$

(C)

$\pi$

(D)

$\frac{4\pi}{3}$

(E)

$\frac{5\pi}{3}$

AMC 8 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

전형적인 2D 기하 문제라서, 도구 #1(그림 그리기) 로 시작하는 게 정석입니다 — 반원, 직사각형, 지름의 중심을 빠르게 그리면 반지름을 빗변으로 하는 직각삼각형이 바로 보입니다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 일을 두 조각으로 나눕니다: (1) 그 직각삼각형에서 피타고라스 정리로 r² 구하기, (2) r² 을 반원 넓이 공식에 대입하기. 직사각형의 대칭성이 직각삼각형을 그대로 내어 주기 때문에 굳이 대수(도구 #13)를 꺼낼 필요는 없습니다.

1STEP 1

지름의 중심을 원점에 놓으면, 대칭성에 의해 위쪽 두 꼭짓점은 호 위 (-1, 1) 과 (1, 1) 이 됩니다.

아래쪽: (-1,0), (1,0); 호 위의 위쪽: (-1,1), (1,1)

2STEP 2

원점에서 (1, 1) 까지의 반지름은 두 다리가 1 과 1 인 직각삼각형의 빗변입니다.

두 다리 = 1 과 1; 빗변 = r

3STEP 3

피타고라스 정리로 r² = 1² + 1² = 2 — 넓이 공식은 r 자체가 아니라 r² 만 있으면 됩니다.

r² = 1² + 1² = 2

4STEP 4

r² = 2 를 반원 넓이 $\frac{1}{2}$ π r² 에 대입하면 $\frac{1}{2}$ π (2) = π → (C).

넓이 =

\frac{1}{2}

π r² =

\frac{1}{2}

π (2) = π → (C)

정답

크기가 합리적인지 점검합니다. 지름은 2r = 2√(2) ≈ 2.83 으로 직사각형의 밑변 2 보다 충분히 크므로 — 좋습니다, 직사각형이 들어갑니다. 반원의 넓이 π ≈ 3.14 는 직사각형의 넓이 1 × 2 = 2 보다는 커야 하고(3.14 ＞ 2 ✓), 반원을 감싸는 외접 직사각형 2√(2) × √(2) ≈ 4 보다는 작아야 합니다(3.14 ＜ 4 ✓). 답 (C) π 가 적당한 범위에 들어 옵니다.

💡핵심 정리

그림을 그려서 안에 숨은 직각삼각형을 찾고 나면, 피타고라스 정리와 원의 넓이 공식이 나머지를 끝내 줍니다 — 깔끔한 5학년 좌표 세팅 위에 올린 8학년 한 줄짜리 아이디어예요.

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