AMC 8 · 2013 · #3

학년 4 arithmeticpattern

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

pattern-recognitionsequences-arithmeticmental-arithmetic pattern-recognitionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticorder-of-operations

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문제

4 · (-1 + 2 - 3 + 4 - 5 + 6 - 7 + … + 1000) 의 값을 구하세요. 괄호 안의 부호는 1 부터 1000 까지 -, +, -, +, … 로 번갈아 나타납니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

-10

(B)

(C)

(D)

500

(E)

2000

AMC 8 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 패턴 찾기

1000 개 항을 하나씩 더해 가는 건 불가능합니다 — 구조를 봐야 합니다. 부호가 -, +, -, +, … 로 두 칸씩 깔끔하게 반복되니, 도구 #5(패턴 찾기) 가 딱 맞습니다. 즉, 두 항씩 묶으면 같은 값이 반복될 가능성이 큽니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 은 그 아이디어를 구체화 — S 를 500 개의 작은 부분 문제(각각 "음의 홀수 + 다음 짝수" 쌍)로 나누고, 하나만 풀어서 나머지에 그대로 재사용합니다. S 가 정해지면 마지막 4 · S 는 한 줄짜리 곱셈입니다.

1STEP 1

1000 개 항을 앞에서부터 두 개씩 묶으면 각 쌍은 (음의 홀수)+(다음 짝수).

S = (-1 + 2) + (-3 + 4) + (-5 + 6) + … + (-999 + 1000)

2STEP 2

처음 몇 쌍을 계산하면 모두 같은 값: -(2k-1) + 2k = 1.

-1 + 2 = 1, -3 + 4 = 1, -5 + 6 = 1, …, -999 + 1000 = 1

3STEP 3

쌍의 개수: 1000 개 ÷ 2 = 500 쌍, 즉 1 이 500 번 더해집니다.

쌍의 개수 =

\frac{1000}{2}

= 500

4STEP 4

500 개의 1 을 더해 S = 500, 괄호 밖의 4 를 곱하면 4 · 500 = 2000.

S = 500 × 1 = 500, 4 · S = 4 × 500 = 2000 → (E)

정답

2000

확인: 1000 개 항이 500 개의 쌍으로 나뉘고 각 쌍이 +1 이므로 S = 500, 거기에 4 를 곱하면 2000 — 선택지 (E) 와 일치합니다. 모든 쌍이 양수였으니 답이 양수인 점도 자연스럽고, 500 개 쌍의 합을 4 배로 키운 값이라 답이 선택지 중 가장 큰 2000 이 되는 것도 합당합니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 4학년 "패턴 찾기" 만으로 풀려요 — 두 개씩 묶어서 각 쌍이 1 인 걸 알아내고, 마지막에 곱하면 끝!

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