AMC 8 · 2014 · #11

학년 7 counting

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Complement by Subtracting Forbidden Arrangements

combinations-basiclattice-pathscomplementary-counting complementary-countingidentify-subproblems ↑ 선수 지식: combinations-basicsystematic-enumeration

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

잭은 자기 집에서 동쪽 3 블록, 북쪽 2 블록 떨어진 질의 집까지 자전거를 탑니다. 한 블록을 갈 때마다 동쪽 또는 북쪽 중 하나만 선택할 수 있고(되돌아가기 없음), 전체 길이는 정확히 5 블록입니다. 잭의 집에서 동쪽으로 1 블록, 북쪽으로 1 블록 떨어진 모퉁이는 위험하므로 반드시 피해야 합니다. 위 조건을 만족하는 5 블록 경로는 몇 가지일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

전체 경로가 10 가지밖에 안 되니, 조합 공식 없이도 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로 모두 적을 수 있습니다. 도구 #1(그림 그리기) 로 3 × 2 격자를 그려서 각 경로를 눈으로 따라가고, 도구 #3(가능성 지우기) 로 (1,1) 을 지나는 경로를 지우면 됩니다. 도구 #16(여사건) 은 검토용으로 자연스럽습니다 — 안전 경로 대신 "나쁜" 경로를 세어서 10 에서 빼는 방식입니다.

1STEP 1

잭 (0,0), 질 (3,2) 을 격자에 두고 위험 지점 (1,1) 에 X 표시. 모든 경로는 동·북 이동의 계단 모양.

격자: x = 0, 1, 2, 3 (열 4 개) × y = 0, 1, 2 (행 3 개). 금지 지점: (1,1).

2STEP 2

각 경로는 E 3 개와 N 2 개의 순서 배열이라, 체계적으로 나열하면 정확히 10 가지입니다.

전체 10 가지 경로 (두 N 의 위치를 대괄호로 표시): ; 1) NNEEE [1,2] ; 2) NENEE [1,3] ; 3) NEENE [1,4] ; 4) NEEEN [1,5] ; 5) ENNEE [2,3] ; 6) ENENE [2,4] ; 7) ENEEN [2,5] ; 8) EENNE [3,4] ; 9) EENEN [3,5] ; 10) EEENN [4,5]

3STEP 3

경로가 (1,1) 에 닿으려면 첫 두 이동이 E·N 한 번씩, 즉 EN 또는 NE 로 시작할 때뿐이라 6 가지가 걸립니다.

나쁜 시작: EN… 또는 NE….n위 목록에서: #2 NE…, #3 NE…, #4 NE…, #5 EN…, #6 EN…, #7 EN… — 총 6 가지.

4STEP 4

10 에서 그 6 을 지우면 NNEEE, EENNE, EENEN, EEENN 만 남아 안전 경로는 4 가지.

안전 경로: {NNEEE, EENNE, EENEN, EEENN} → 개수 = 4.

5STEP 5

답: 안전한 경로 4 가지 — 선택지 (A).

안전 경로 수 = 10 - 6 = 4 → (A)

정답

위험 모퉁이 (1,1) 이 출발점에 매우 가깝기 때문에 많은 경로를 가로막습니다 — 10 중 6 개. 처음부터 위로 두 번 올라가거나(NN...), 처음부터 동쪽으로 두 번 가야(EE...) (1,1) 을 피할 수 있고, 그런 경로가 딱 4 개라는 결과는 작은 격자에서 직관적으로 자연스럽습니다. (A) 4 와 일치합니다.

💡핵심 정리

전체 경우의 수가 작을 때(10 개) 는 조합 공식 없이도, 7학년식 "정리된 목록" 으로 모든 경로를 적고 나쁜 것을 지워서 답을 얻을 수 있어요.

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