AMC 8 · 2014 · #13

학년 4 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

parityperfect-squareslogical-deduction caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: paritylogical-deduction

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

정수 n 과 m 의 제곱의 합 n² + m² 이 짝수입니다. 다섯 개의 보기 중 절대 일어날 수 없는 것을 찾아야 합니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

n and m are even

(B)

n and m are odd

(C)

n+m is even

(D)

n+m is odd

(E)

none of these are impossible

AMC 8 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 가능성 지우기

(n, m) 의 홀짝 조합은 (짝, 짝), (짝, 홀), (홀, 짝), (홀, 홀) 의 네 가지뿐입니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 네 경우를 표로 모두 적어 두고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 "n²+m² 은 짝수" 라는 조건에 어긋나는 경우를 지워 살아남는 경우만 남깁니다. 그 살아남은 경우들과 각 보기를 대조하면 불가능한 보기가 자연스럽게 드러납니다. 대수식이나 형식적 증명 같은 무거운 도구 대신 작은 홀짝 표 하나면 충분합니다.

1STEP 1

(n, m) 의 짝·홀 조합 네 가지를 적어요. 제곱은 홀짝을 유지하므로 n²+m² 의 홀짝은 n+m 과 같아요.

n & m & n²+m² ; 짝 & 짝 & 짝 ; 짝 & 홀 & 홀 ; 홀 & 짝 & 홀 ; 홀 & 홀 & 짝

2STEP 2

조건 'n²+m² 은 짝수' 로 홀수 결과 두 줄을 지워요. 남는 건 (짝,짝) 과 (홀,홀), 즉 n 과 m 의 홀짝이 같아야 해요.

생존: (n,m)∈{(짝,짝),(홀,홀)}

3STEP 3

생존 경우 확인: (A) 둘 다 짝수, (B) 둘 다 홀수 모두 되고 (C) n+m 도 짝수 — A, B, C 는 모두 가능해요.

(A) ✓ (B) ✓ (C) ✓

4STEP 4

이제 (D): n+m 이 홀수이려면 하나는 짝·하나는 홀이어야 하지만 생존 경우는 홀짝이 같아요 — n+m 은 절대 홀수가 될 수 없어요.

n+m 홀수 → (짝,홀) 또는 (홀,짝) ∉ 생존 → 불가능

5STEP 5

(D) 는 불가능하고 (A), (B), (C) 는 가능하므로 (E) 는 거짓 — 정답은 (D) 하나뿐이에요.

(D) n+m 은 홀수

정답

n+m is odd

구체적인 수로 점검해 봅니다. (n,m)=(2,4): n²+m²=4+16=20 짝수, n+m=6 짝수 — 규칙과 일치. (n,m)=(1,3): 1+9=10 짝수, n+m=4 짝수 — 또 일치. (n,m)=(2,3): 4+9=13 은 홀수라 조건 위반인데, 이 경우 n+m=5 가 정확히 우리가 배제한 "홀수 합" 입니다. 모든 예가 한 방향을 가리킵니다 — n²+m² 이 짝수이면 n+m 은 반드시 짝수, 그러므로 (D) 는 불가능.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 4학년 짝수·홀수 규칙 하나면 풀려요 — 제곱은 홀짝을 유지하니까 n²+m² 과 n+m 의 홀짝이 항상 같거든요!

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