AMC 8 · 2014 · #16

학년 7 counting

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

combinations-basicmulti-digit-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: combinations-basicmulti-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

"Middle School Eight" 리그에는 8 개 팀이 있습니다. 리그 안에서 모든 팀은 다른 모든 팀과 두 번씩 경기를 합니다(홈 경기 1 번, 원정 경기 1 번). 여기에 더해 각 팀은 리그 밖 상대와도 4 경기를 합니다. 한 시즌 동안 Middle School Eight 팀이 적어도 하나 참가하는 경기의 총 수를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

144

(E)

160

AMC 8 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

시즌의 경기는 명확히 두 종류 — 리그 안 경기(두 팀 모두 리그 소속) 와 리그 밖 경기(한 팀만 리그 소속) — 로 나뉩니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 두 부분을 따로 세고 마지막에 더합니다. 도구 #16(꼼꼼히 세기) 은 리그 안 경기에서 함정을 막아 줍니다 — 팀 A 와 팀 B 의 경기는 "A vs B" 라고 적든 "B vs A" 라고 적든 같은 경기이므로 쌍을 두 번 세면 안 됩니다. 홈과 원정이 다른 경기라는 점은 순서 없는 쌍의 개수에 단순히 × 2 를 더한 것입니다.

1STEP 1

쪼개기 1, 리그 안 경기: 8 팀 중 2 팀을 고르면 서로 다른 28 쌍.

C(8, 2) =

\frac{8 × 7}{2}

= 28 쌍

2STEP 2

각 쌍은 홈·원정 2 경기라, 28 × 2 = 56 리그 안 경기.

28 × 2 = 56 리그 안 경기

3STEP 3

쪼개기 2, 리그 밖 경기: 8 팀 × 4 = 32, 상대가 리그 밖이라 중복 셈 없음.

8 × 4 = 32 리그 밖 경기

4STEP 4

두 소합을 더하면 56 + 32 = 88 → (B).

56 + 32 = 88 → (B)

정답

리그 안 경기 수를 한 팀 관점에서 검산해 봅니다. 한 팀은 나머지 7 팀과 각각 2 경기씩, 즉 7 × 2 = 14 리그 안 경기를 합니다. 8 팀에 대해 더하면 8 × 14 = 112 이지만, 리그 안 경기는 한 경기에 Middle School Eight 두 팀이 들어 있으므로 실제 경기 수는

\frac{112}{2}

= 56 — 2단계 결과와 일치합니다. 여기에 리그 밖 32 경기를 더하면 88 로 (B). 다른 선택지는 검산을 통과하지 못합니다 — 160 = 8 × 20 은 팀별 총 경기 20 을 그대로 더해 중복 셈, 144 는 홈·원정만 곱하고 쌍 중복을 보정하지 않은 값, 60 과 96 은 깔끔한 분할에 맞지 않습니다.

💡핵심 정리

시즌을 리그 안 경기와 리그 밖 경기로 쪼개고, 같은 경기는 한 번만 세도록 쌍의 수를 잘 잡으면 88 이 나옵니다.

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