경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2014 · #16
학년 7 counting답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
시즌의 경기는 명확히 두 종류 — 리그 안 경기(두 팀 모두 리그 소속)와 리그 밖 경기(한 팀만 리그 소속) — 로 나뉩니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 두 부분을 따로 세고 마지막에 더합니다. 도구 #16(꼼꼼히 세기)은 리그 안 경기에서 함정을 막아 줍니다 — 팀 A 와 팀 B 의 경기는 "A vs B" 라고 적든 "B vs A" 라고 적든 같은 경기이므로 쌍을 두 번 세면 안 됩니다. 홈과 원정이 다른 경기라는 점은 순서 없는 쌍의 개수에 단순히 × 2를 더한 것입니다.
같은 지구 팀 짝 세기
쪼개기 1, 리그 안 경기: 8 팀 중 2 팀을 고르면 서로 다른 28 쌍.
첫 팀을 고르는 방법 8, 둘째 팀 7을 곱한 뒤 순서가 의미 없으니 2로 나눠 줍니다 — 7학년 복합 사건 개수 세기 그대로입니다.
8개의 컨퍼런스 팀은 서로 다른 대진 짝을 28개 만들며, 각 짝은 한 번만 센다.
▸ 왜?
대진을 고른다는 것은 첫 번째 팀을 고르고 그다음 다른 두 번째 팀을 고르는 것이다; 이렇게 하면 8 × 7 = 56가지 순서 있는 선택이 나오지만, 각 짝이 두 번 세어지므로 실제 개수는 56 ÷ 2 = 28이다.
▸ 왜?
첫 번째 팀을 고르는 방법이 8가지이고, 그 각각에 대해 두 번째 팀으로 고를 수 있는 남은 팀이 7개이므로, 순서 있는 선택은 7개짜리 같은 묶음 8개, 즉 8 × 7 = 56이다.
▸ 왜?
그 56가지 순서 있는 선택은 모든 대진을 순서마다 한 번씩 두 번 세므로, 진짜 짝의 개수는 56 ÷ 2이다.
▸ 왜?
"A 다음 B"와 "B 다음 A"는 똑같은 두 팀을 가리키므로, 순서 없는 각 짝은 순서 있는 선택 두 개짜리 묶음 하나와 정확히 대응된다.
▸ 왜?
56가지 순서 있는 선택 안에 2개짜리 같은 묶음이 몇 개 들어가는지 세는 것이 바로 56을 2로 나누는 것이며, 그 결과는 28이다.
홈과 원정 두 배로 늘리기
각 쌍은 홈·원정 2 경기라, 28 × 2 = 56 리그 안 경기.
같은 크기의 그룹이 2 개씩 — 3학년 곱셈으로 처리됩니다.
3.OA.A.3Identify Subproblems다른 지구 경기 세기
쪼개기 2, 리그 밖 경기: 8 팀 × 4 = 32, 상대가 리그 밖이라 중복 셈 없음.
4 짜리 그룹이 8 개 — 상대가 리그 밖이라 중복 셈 걱정 없이 3학년 곱셈 그대로 끝납니다.
3.OA.A.3Identify Subproblems두 경기 수 더하기
두 소합을 더하면 56 + 32 = 88 → (B).
두 개의 소합을 마지막에 더해 최종 답을 내는 것은 4학년 여러 단계 문장제의 정석입니다.
4.OA.A.3Identify Subproblems시즌을 리그 안 경기와 리그 밖 경기로 쪼개고, 같은 경기는 한 번만 세도록 쌍의 수를 잘 잡으면 88이 나옵니다.
- 같은 지구 팀 짝 세기
- 홈과 원정 두 배로 늘리기
- 다른 지구 경기 세기
- 두 경기 수 더하기
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