AMC 8 · 2014 · #22

학년 3 algebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps

place-valuelinear-equations-one-vardigit-decomposition convert-to-algebradigit-constraints ↑ 선수 지식: place-valuelinear-equations-one-var

📏 짧은 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

두 자리 수 가운데 (두 자릿수의 곱) + (두 자릿수의 합) 이 그 수 자신과 같아지는 수를 찾으세요. 문제는 그런 수의 일의 자릿수가 무엇인지 묻습니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 추측하고 확인하기

선택지가 일의 자릿수 5 개 (1, 3, 5, 7, 9) 뿐이므로 하나씩 직접 시험해 볼 수 있습니다. 각 후보 b 에 대해 간단한 십의 자릿수 (예: a = 2) 를 잡고 10a + b 가 a × b + a + b 와 같은지 확인합니다. 시험은 도구 #6 (추측하고 확인하기), 실패한 후보는 도구 #3 (가능성 지우기) 으로 지웁니다. 두세 번 시험해 보면 일정한 패턴이 보이므로 (도구 #5), 대수식 없이도 답을 확정할 수 있습니다.

1STEP 1

b = 1, a = 2 (수 21): (2 × 1) + (2 + 1) = 5 ≠ 21 → (A) 제거.

21 ≠ (2 × 1) + (2 + 1) = 5

2STEP 2

b = 3, a = 2 (수 23): (2 × 3) + (2 + 3) = 11 ≠ 23 → (B) 제거.

23 ≠ (2 × 3) + (2 + 3) = 11

3STEP 3

패턴 관찰: 수에서 (곱 + 합) 을 빼면 a × (9 - b) 가 되고, 이 값이 0 이 되는 것은 b = 9 일 때뿐.

차이 = (10a + b) - [(a × b) + (a + b)] = a × (9 - b)

4STEP 4

남은 후보: (2 × 5) + (2 + 5) = 17 ≠ 25, (2 × 7) + (2 + 7) = 23 ≠ 27 → (C), (D) 제거.

25 ≠ 17, 27 ≠ 23

5STEP 5

b = 9 시험: 29 = (2 × 9) + (2 + 9), 59 = (5 × 9) + (5 + 9) 모두 성립 → 일의 자릿수 9, (E).

29 = (2 × 9) + (2 + 9), 59 = (5 × 9) + (5 + 9)

정답

차이 공식 a × (9 - b) 이 모든 것을 설명합니다. 수와 (곱 + 합) 사이의 격차는 정확히 a × (9 - b) 인데, 이 값이 0 이 되는 것은 b = 9 일 때뿐이고, a 가 0 만 아니라면 어떤 값이어도 성립합니다. 따라서 19, 29, 39, …, 99 가 모두 조건을 만족하고 (예: 19 = 1 · 9 + 1 + 9 = 9 + 10), 모두 9 로 끝납니다. 답 (E) 와 일치합니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 3학년에서 배운 "곱하고 더해서 확인하기" 만으로 풀려요. 선택지를 하나씩 시험해 보면 답인 일의 자릿수가 저절로 드러납니다!

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