AMC 8 · 2014 · #25

학년 7 geometry-2drate-ratio
유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Multi-Segment Path or Count Sum
area-circlesperimeterrateunit-conversion identify-subproblemsdimensional-analysis ↑ 선수 지식: area-circlesrateunit-conversion
📏 중간 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형
문제
곧게 뻗은 1 마일 길이의 고속도로(폭 40 피트)가 차량 통제되어 있습니다. 로버트는 폭 전체에 걸친 동일한 반원들을 좌우 번갈아 이어붙인 경로를 따라 자전거를 탑니다. 시속 5 마일로 달릴 때 이 1 마일 구간을 지나는 데 몇 시간이 걸릴까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\frac{\pi}{11}$
(B)
$\frac{\pi}{10}$
(C)
$\frac{\pi}{5}$
(D)
$\frac{2\pi}{5}$
(E)
$\frac{2\pi}{3}$

AMC 8 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 그림 그리기

도구 #1(그림 그리기)이 핵심 열쇠입니다 — 40 피트 폭에 걸친 반원 하나만 그려 보면 두 가지가 즉시 보입니다: 지름이 40 피트이고, 이 반원 하나가 도로를 따라 정확히 40 피트 전진시킨다는 점입니다. 그 뒤 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 반원 하나의 호 길이와 직선 전진 거리만 구하면, 전체 경로는 "이 타일을 N 개 복사"하는 문제가 됩니다. 마지막에 도구 #8(단위 살펴보기)로 호 길이는 피트로 나오는데 속력은 mph이므로 피트를 마일로 환산해 시간을 구합니다.

1STEP 1

40 피트 폭 도로에 반원 하나를 그리면 지름이 곧 폭이라 반지름은 r = 20 피트, 반원 하나는 지름만큼 전진시킵니다.

d = 40 ft, r = 402\frac{40}{2} = 20 ft
2STEP 2

먼저 한 타일만 풉니다 — 원 둘레가 2π r이니 반원 호는 그 절반인 π r = 20π 피트입니다.

반원 한 개의 호 = π r = 20π ft
3STEP 3

직선 길이 5280 피트를 한 반원의 전진 40 피트로 나누면 반원은 132개입니다.

N = (5280 ft)/(40 ft / 반원) = 132 개
4STEP 4

호 × 개수 = 132 × 20π = 2640π 피트를 5280 피트 = 1 마일로 환산하면 π2\frac{π}{2} 마일입니다.

총 거리 = 132 × 20π = 2640π ft = 2640π5280\frac{2640π}{5280} mi = π2\frac{π}{2} mi
5STEP 5

거리 ÷ 속력 = (π2\frac{π}{2} 마일) ÷ (시속 5 마일) = π10\frac{π}{10} 시간, 선택지 (B).

t = (π2\frac{π}{2} mi)/(5 mph) = π10\frac{π}{10} 시간 → (B)
정답
π10\frac{π}{10}
크기를 점검해 봅시다. 로버트의 주행 거리는 π2\frac{π}{2} ≈ 1.57 마일로, 1 마일 직선 구간을 따라가는 데 약 57% 더 길어졌습니다 — 반원 호가 지름보다 π2\frac{π}{2} ≈ 1.57 배 길다는 사실과 정확히 맞아떨어집니다. 시속 5 마일로 1.57 마일은 약 1.575\frac{1.57}{5} ≈ 0.314 시간이 걸리고, π10\frac{π}{10} ≈ 0.314 이라 일치합니다. 0.314 시간은 약 19 분 — 1.5 마일 자전거 주행 시간으로 자연스럽습니다.
💡핵심 정리

반원 하나만 그려 보면 1 마일 구간 전체가 쉬워져요 — 7학년 원 둘레 공식과 "거리 ÷ 속력" 만 알면 풀 수 있어요!

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