AMC 8 · 2014 · #6

학년 4 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

area-rectanglesperfect-squaresmulti-digit-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-rectanglesmulti-digit-arithmetic

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문제

직사각형 6 개가 모두 너비 2 이고, 각 길이는 처음 여섯 개의 완전제곱수 1, 4, 9, 16, 25, 36 입니다. 여섯 직사각형의 넓이의 합을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

162

(D)

182

(E)

202

AMC 8 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 패턴 찾기

각 직사각형의 넓이는 2 × 길이 이므로 전체 넓이는 2 × 1 + 2 × 4 + … + 2 × 36 입니다. 모든 항에 공통 인수 2 가 보이는 것이 패턴(도구 #4) 이므로, 2 를 묶어내면 길이를 한 번만 더하면 됩니다: 전체 = 2 × (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36). 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 이 일을 두 단계 — 먼저 여섯 수를 더하고, 그 다음 2 를 곱하기 — 로 깔끔하게 나눠 줍니다.

1STEP 1

전체를 여섯 직사각형 넓이의 합으로 적습니다. 각 넓이는 너비 × 길이 = 2 × 길이.

전체 = 2·1 + 2·4 + 2·9 + 2·16 + 2·25 + 2·36

2STEP 2

모든 항에 공통인 2 를 분배법칙으로 묶어내면, 길이는 한 번만 더하면 됩니다.

전체 = 2 × (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36)

3STEP 3

여섯 제곱수를 쉬운 짝으로 더합니다: (1 + 9) + (4 + 16) + (25 + 36) = 10 + 20 + 61 = 91.

1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = 10 + 20 + 61 = 91

4STEP 4

합에 공통 너비 2 를 곱합니다: 2 × 91 = 182 → (D).

전체 = 2 × 91 = 182 → (D)

정답

182

선택지 (A) 91 은 너비 2 를 곱하기 전 단계인 "길이의 합" 그 자체입니다 — 마지막 곱셈을 잊으면 빠지기 쉬운 함정이에요. 91 을 두 배 한 182 가 정답 (D) 입니다. 빠른 점검: 가장 큰 직사각형 하나가 2 × 36 = 72 이고, 여섯 넓이 2, 8, 18, 32, 50, 72 가 모두 200 보다 작으니 합이 182 부근인 것은 자연스럽습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 4학년 산수만으로 풀려요 — 공통 너비를 묶어내면 덧셈 한 번, 곱셈 한 번이면 끝!

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