AMC 8 · 2015 · #11

학년 7 probability

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Ordered Placement Count

probability-basicpermutations-basicsystematic-enumeration systematic-enumeration ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticmulti-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

매스랜드의 자동차 번호판은 기호 4 개로 이루어집니다. 첫 번째 자리는 모음(A, E, I, O, U), 두 번째와 세 번째 자리는 모음이 아닌 자음 21 개 중에서 서로 다른 두 글자, 네 번째 자리는 숫자(0~9) 입니다. 규칙을 지키는 번호판이 모두 같은 확률로 뽑힌다고 할 때, 번호판이 정확히 "AMC8" 일 확률은 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$frac{1}{22,050}$

(B)

$frac{1}{21,000}$

(C)

$frac{1}{10,500}$

(D)

$frac{1}{2,100}$

(E)

$frac{1}{1,050}$

AMC 8 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

여기서 확률은 1/(가능한 번호판 총수) 이므로 진짜 할 일은 총수를 세는 것입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 "각 자리마다 선택지가 몇 개?" 라는 작은 문제 4 개로 나눈 뒤 곱해 주면 됩니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 는 각 자리의 선택지(모음, 자음, 남은 자음, 숫자)를 정직하게 세기 위한 보조 도구입니다. 마지막에 "AMC8" 은 똑같이 가능성 있는 번호판 중 정확히 1 개이므로 확률은 그대로 1/총수 가 됩니다.

1STEP 1

작은 문제 1 — 1자리는 모음 A, E, I, O, U 로 선택지 5 개.

선택지₁ = 5

2STEP 2

작은 문제 2 — 2자리는 자음: 26 - 5 = 21 개가 선택지.

선택지₂ = 26 - 5 = 21

3STEP 3

작은 문제 3 — 3자리는 2자리와 다른 자음이라 하나가 빠져 20 개.

선택지₃ = 21 - 1 = 20

4STEP 4

작은 문제 4 — 4자리는 숫자 0~9 로 선택지 10 개.

선택지₄ = 10

5STEP 5

곱셈 원리로 가능한 번호판 총수 = 5 × 21 × 20 × 10 = 21,000.

총수 = 5 × 21 × 20 × 10 = (5 × 20) × (21 × 10) = 100 × 210 = 21,000

6STEP 6

"AMC8" 은 A 모음·M·C 다른 자음·8 숫자로 규칙을 만족하니 P = $\frac{1}{21,000}$ → (B).

P(AMC8) =

\frac{1}{21,000}

→ (B)

정답

\frac{1}{21,000}

분모는 규칙을 만족하는 번호판의 총수와 같아야 하고, 5 × 21 × 20 × 10 은 명백히 21,000 입니다. 선택지 (A) 22,050 = 5 × 21 × 21 × 10 은 두 번째와 세 번째 자리에 같은 글자가 와도 된다고 가정한 값으로, 문제가 "서로 다르다" 라고 막은 부분 — 전형적인 함정입니다. (C), (D), (E) 는 분모를 더 줄이는데, 그러려면 유리한 번호판이 1 개보다 많아야 하지만 "AMC8" 은 단 하나뿐이라 맞지 않습니다. 결국 모든 조건과 "유리한 경우 정확히 1" 에 모두 들어맞는 값은 (B) 뿐입니다.

💡핵심 정리

자리마다 선택지를 따로 세서 모두 곱하면 전체 경우의 수가 나오고, 그 위에 1 을 얹으면 "무작위 번호판" 확률 — 7학년 방식 그대로예요!

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