AMC 8 · 2015 · #12

학년 4 geometry-3dcounting

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Grid / Solid Cell Position

spatial-visualizationcombinations-basicsystematic-enumeration caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: combinations-basicspatial-visualization

📏 짧은 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

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문제

정육면체에는 모서리가 12 개 있습니다. 이 모서리들 중에서 서로 평행한 짝(예: AB 와 GH, EH 와 FG) 이 몇 쌍인지 세어 봅니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

12 개 모서리를 일일이 훑어 모든 쌍을 확인하려면 66 쌍을 검사해야 해서, 눈으로 안전하게 셀 수 없습니다. 먼저 도구 #10(직접 만져보기) 가 도움이 됩니다 — 휴지 상자 같은 정육면체를 손에 들고 보면 12 개 모서리가 정확히 3 방향(가로·세로·높이)으로 갈리고, 각 방향마다 평행한 모서리가 4 개씩 있다는 게 한눈에 보입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 은 큰 문제를 "4 개에서 쌍을 몇 개 만들 수 있나?" 라는 똑같은 작은 문제 세 개로 바꿔 줍니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로 한 그룹의 쌍을 순서대로 적어 두면 중복도 누락도 없습니다. 마지막에 세 번 더하면 끝.

1STEP 1

정육면체 모서리 12 개는 3 방향뿐이라 4 개씩 세 묶음 으로 깔끔히 나뉩니다.

12 모서리 = 3 방향 × 4 모서리/방향

2STEP 2

한 방향씩 떼어 보면 전체 세기가 '4 개에서 쌍 몇 개?' 라는 똑같은 작은 문제 세 개로 바뀝니다.

전체 쌍 = 3 × (한 그룹의 쌍 수)

3STEP 3

한 그룹의 쌍을 순서대로 적으면 {1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4} 로 6 쌍, 중복도 누락도 없습니다.

{1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4} → 6 쌍

4STEP 4

세 방향이 각각 겹치지 않는 6 쌍을 만드니, 전체는 3 × 6 = 18 쌍입니다.

3 × 6 = 18 → (C)

정답

다른 방식으로도 확인해 봅시다. 12 개 모서리에서 만들 수 있는 모든 (순서 없는) 쌍은 12 × 11 / 2 = 66 쌍입니다. 이 중 평행 쌍이 18, 수직 쌍(서로 다른 두 방향의 모서리끼리) 이 3 × (4 × 4) = 48 이라 합치면 18 + 48 = 66. 장부가 정확히 맞습니다. 또한 18 은 작은 쪽(6, 12) 과 부풀려진 함정(24, 36) 사이의 자연스러운 값입니다. (D) 24 는 두 방향에서 (e₁, e₂) 와 (e₂, e₁) 를 다른 쌍으로 잘못 셀 때, (E) 36 은 세 방향 모두에서 같은 실수를 할 때 나옵니다. (A) 6 은 한 방향만 센 값, (B) 12 는 쌍 수와 모서리 수를 혼동한 값입니다.

💡핵심 정리

상자를 손에 들고 모서리만 살펴봐도 방향이 3 개뿐이라, 결국 "6 쌍을 세 번 더하는" 3학년 곱셈 문제로 바뀝니다!

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