AMC 8 · 2015 · #14

학년 4 algebranumber-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

divisibility-rulesparitymultiples convert-to-algebracasework ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticdivisibility-rules

📏 짧은 풀이 💡 3 개 인사이트

📘 쉬운 버전 보기 →

문제

다섯 개의 수 16, 40, 72, 100, 200 중에서 "연속된 네 홀수의 합"(예: 1+3+5+7 또는 7+9+11+13) 으로 표현할 수 없는 수를 하나 고르세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

100

(E)

200

AMC 8 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

어떤 합이 가능한지 모르니까, 먼저 "연속된 네 홀수의 합"을 작은 값부터 직접 몇 개 만들어 봅니다 (도구 #9): 1+3+5+7, 3+5+7+9, 5+7+9+11 같은 식으로요. 나온 합들을 늘어놓고 규칙을 찾으면 (도구 #5) — 합이 매번 8 씩 늘어나니까 가능한 합은 모두 8 의 배수입니다. 마지막으로 다섯 선택지를 그 규칙에 대입해서 (도구 #3, 가능성 지우기) 8 의 배수가 아닌 단 하나의 수를 찾으면 됩니다.

1STEP 1

가장 쉬운 것부터: 가장 작은 연속 홀수 네 개씩 더해 합을 16, 24, 32, 40 으로 나열해요.

1+3+5+7 = 16, 3+5+7+9 = 24, 5+7+9+11 = 32, 7+9+11+13 = 40

2STEP 2

합은 매번 8씩 커지므로, 가능한 합은 모두 8의 배수예요.

24 - 16 = 8, 32 - 24 = 8, 40 - 32 = 8 → 합 = 16, 24, 32, 40, 48, … = 8 × (정수)

3STEP 3

각 선택지 중 8의 배수가 아닌 수가 바로 불가능한 합이에요.

16 = 8 × 2, 40 = 8 × 5, 72 = 8 × 9, 100 = 8 × 12 + 4 (8 의 배수 아님), 200 = 8 × 25

4STEP 4

오직 100만 8의 배수가 아니므로, 이렇게 쓸 수 없는 수예요 — 답은 (D).

100 → (D)

정답

100

100 을 정말로 "연속된 네 홀수의 합" 으로 만들 수 있는지 직접 시도해 봅니다. 네 홀수의 중간값은 100 ÷ 4 = 25 부근이어야 하므로 23 + 25 + 27 + 29 = 104 (너무 큼), 21 + 23 + 25 + 27 = 96 (너무 작음). 합이 96 에서 104 로 한 번에 건너뛰어 100 을 건너뛰니, 100 이 불가능하다는 결론이 맞습니다. 나머지 네 수는 모두 실제로 만들 수 있습니다: 16 = 1+3+5+7, 40 = 7+9+11+13, 72 = 15+17+19+21, 200 = 47+49+51+53.

💡핵심 정리

작은 홀수 네 개의 합을 몇 번 더해서 "8 씩 뛴다" 는 규칙만 알아채면 — 4학년 실력으로 풀 수 있는 AMC 8 문제예요. 대수는 필요 없습니다!

비슷한 유형 더 풀어보기