AMC 8 · 2015 · #16

학년 6 rate-ratio

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Percent / Fraction Recovery

ratio-proportionfraction-arithmeticlinear-equations-two-var convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticratio-proportion

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

버디 프로그램에서 9학년의

\frac{1}{3}

이 6학년의

\frac{2}{5}

와 1대1로 짝을 이룹니다. 6학년과 9학년 학생 전체 중 짝이 있는 학생의 비율은 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$frac{2}{15}$

(B)

$frac{4}{11}$

(C)

$frac{11}{30}$

(D)

$frac{3}{8}$

(E)

$frac{11}{15}$

AMC 8 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

문제에서 9학년·6학년의 실제 인원을 알려 주지 않는다는 건 답이 인원에 상관없이 같다는 강한 힌트입니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 $\frac{1}{3}$ 과 $\frac{2}{5}$ 가 정수 명이 되도록 만드는 가장 작은 인원을 직접 골라서 세어 보면 됩니다. 비율이 나오면 도구 #3(가능성 지우기)으로 선택지와 맞춰 확인합니다. 변수 세우고 분수끼리 나눌 필요가 없어요.

1STEP 1

가장 작은 인원을 고릅니다: 9학년은 3의 배수, 6학년은 5의 배수 → 일단 9학년 3명·6학년 5명.

\frac{1}{3}

× 3 = 1 명(9학년 짝),

\frac{2}{5}

× 5 = 2 명(6학년 짝)

2STEP 2

그런데 9학년 3명은 짝 1명, 6학년 5명은 짝 2명이라 짝 수가 어긋납니다 → 인원을 키웁니다.

1 ≠ 2 이므로 짝짓기 실패.

3STEP 3

9학년을 6명으로 두 배: $\frac{1}{3}$ ×6=2, $\frac{2}{5}$ ×5=2로 짝 수가 맞아 2쌍 (9학년 6명·6학년 5명).

\frac{1}{3}

× 6 = 2,

\frac{2}{5}

× 5 = 2

4STEP 4

짝이 있는 학생 = 2 + 2 = 4명, 전체 = 6 + 5 = 11명.

짝 있는 학생 = 2 + 2 = 4, 전체 = 6 + 5 = 11

5STEP 5

구하는 비율 = (짝 있는 학생)/전체 = $\frac{4}{11}$ 을 만들어 선택지와 맞춰 봅니다 (도구 #3, 후보 지우기).

(짝 있는 학생)/전체 =

\frac{4}{11}

→ (B)

정답

\frac{4}{11}

답이 정말 인원에 영향을 받지 않는지 더 큰 수로 확인합니다. 9학년 12 명·6학년 10 명이면

\frac{1}{3}

× 12 = 4,

\frac{2}{5}

× 10 = 4 로 4 쌍. 짝 있는 학생 = 4 + 4 = 8, 전체 = 12 + 10 = 22, 비율 =

\frac{8}{22}

\frac{4}{11}

— 같은 값이 나옵니다. 문제에서 인원을 알려 주지 않은 이유와 정확히 일치합니다.

💡핵심 정리

문제에서 인원을 숨기면, 조건을 만족하는 가장 작은 수를 직접 골라 세어 보세요. 6학년 분수와 비율 감각만으로 AMC 8 한 문제를 깰 수 있어요.

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