AMC 8 · 2015 · #18

학년 4 algebrapattern

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

sequences-arithmeticpattern-recognitionmean-median-mode-range identify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: sequences-arithmeticmulti-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

5 × 5 격자에 숫자가 채워져 있는데, 모든 행이 등차수열이고 모든 열도 등차수열입니다. 네 모서리만 보이고 — 왼쪽 위 1, 오른쪽 위 25, 왼쪽 아래 17, 오른쪽 아래 81 — 한가운데 칸에 X 라고 쓰여 있습니다. X 의 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

빈칸 25 개를 한꺼번에 채우려 하면 막막합니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)을 쓰면 행·열 중 딱 세 군데만 보면 됩니다 — 1행 한가운데(1 과 25 사이), 5행 한가운데(17 과 81 사이), 그리고 그 두 값으로 3열 한가운데. 도구 #5(패턴 찾기)는 각 단계를 한 줄로 끝내는 비결을 알려 줍니다 — 항의 개수가 홀수인 등차수열에서는 가운데 항이 양 끝 항의 평균과 같습니다. 그래서 공차를 따로 구할 필요조차 없습니다.

1STEP 1

항이 홀수인 등차수열에서는 가운데 항이 양 끝의 평균과 같아요.

가운데 항 =

\frac{첫째 항 + 마지막 항}{2}

2STEP 2

1행은 1에서 25까지이므로 가운데 칸(3열)은 $\frac{1 + 25}{2}$ = 13.

1행 3열 =

\frac{1 + 25}{2}

\frac{26}{2}

= 13

3STEP 3

5행은 17에서 81까지이므로 가운데 칸은 $\frac{17 + 81}{2}$ = 49.

5행 3열 =

\frac{17 + 81}{2}

\frac{98}{2}

= 49

4STEP 4

3열은 13에서 49까지이므로 X = $\frac{13 + 49}{2}$ = 31 → (B).

X =

\frac{13 + 49}{2}

\frac{62}{2}

= 31 → (B)

정답

3열의 공차로 검산해 봅시다. 13 에서 49 까지 5 항이므로 공차 d =

\frac{49 - 13}{4}

= 9. 3열은 13, 22, 31, 40, 49 가 되고, 셋째 항은 정확히 31 입니다. 직관적으로도 네 모서리의 평균

\frac{1 + 25 + 17 + 81}{4}

= 31 과 정확히 일치합니다 — 모든 행·열이 등차수열인 격자에서는 두 대각선이 중앙에서 만나므로, 중앙값이 네 모서리의 평균과 같아지기 때문입니다.

💡핵심 정리

5 × 5 격자라 커 보이지만, 결국 필요한 건 4학년짜리 한 가지 아이디어 — 등차수열의 가운데 항은 첫째·마지막 항의 평균과 같다 — 를 세 번 쓰는 것뿐이에요!

비슷한 유형 더 풀어보기