경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2015 · #19

학년 6 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Lattice or Non-Aligned Polygon Area

coordinate-geometryarea-trianglesarea-rectanglesfraction-arithmetic coordinate-geometryarea-differenceidentify-subproblems ↑ 선수 지식: coordinate-geometryarea-triangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

6 × 5 격자 위에 꼭짓점이 A=(1,3), B=(5,1), C=(4,4) 인 삼각형이 있습니다. 이 삼각형이 격자 전체에서 차지하는 넓이의 비율은 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{6}$

(B)

$\frac{1}{5}$

(C)

$\frac{1}{4}$

(D)

$\frac{1}{3}$

(E)

$\frac{1}{2}$

AMC 8 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

삼각형이 기울어져 있어 밑변·높이를 그림에서 바로 읽을 수 없습니다. 도구 #1(그림 그리기)로 삼각형에 딱 맞는 가장 작은 축 정렬 직사각형(bounding rectangle)을 그려 두면, 그 안은 △ ABC 와 모서리의 직각삼각형 3 개로 깔끔히 나뉩니다. 그러면 도구 #16(관점 바꾸기 / 여집합으로 세기)이 자연스럽게 들어옵니다 — 기울어진 삼각형을 직접 구하는 대신, 쉬운 직각삼각형 3 개를 구해서 빼면 됩니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 마지막 질문을 두 단계로 나눕니다 — 먼저 삼각형 넓이, 그다음 격자 넓이로 나눠 비율을 구합니다.

1STEP 1

격자 전체 넓이 구하기

6 × 5 격자 전체는 하나의 직사각형이므로, 분모가 될 넓이는 30입니다.

격자 넓이 = 6 × 5 = 30

2STEP 2

삼각형을 직사각형으로 감싸기

삼각형을 가장 작은 축 정렬 직사각형으로 감싸면 가로 4, 세로 3이라 넓이는 12입니다.

직사각형 넓이 = (5-1) × (4-1) = 4 × 3 = 12

3STEP 3

모서리 삼각형 세 개 정하기

직사각형은 △ ABC 와 모서리 직각삼각형 3개로 나뉩니다 — 그 쉬운 3개를 대신 구합니다.

T₁: A(1,3), C(4,4), (1,4) T₂: C(4,4), B(5,1), (5,4) T₃: A(1,3), B(5,1), (1,1)

4STEP 4

모서리 삼각형 넓이 구하기

각 모서리 삼각형은 ½·변·변이라 넓이 1.5, 1.5, 4를 더하면 7입니다.

T₁ = 1/2(3)(1) = 1.5 T₂ = 1/2(1)(3) = 1.5 T₃ = 1/2(4)(2) = 4 → T₁+T₂+T₃ = 7

5STEP 5

모서리 넓이 빼기

직사각형에서 모서리를 빼면 12 − 7로 △ ABC 넓이는 5입니다.

Area(△ ABC) = 12 - 7 = 5

6STEP 6

분수를 만들어 약분하기

삼각형 넓이를 격자 넓이로 나누면 $\frac{5}{30}$ , 약분하면 $\frac{1}{6}$ → (A).

(Area(△ ABC))/(격자 넓이) = 5/30 = 1/6 → (A)

정답

1/6

삼각형은 격자의 절반보다 분명히 작고 0은 아니므로, 답은 작지만 0은 아닌 분수여야 합니다. 30의

\frac{1}{6}

은 5로, 계산한 삼각형 넓이와 정확히 일치합니다. 또, 감싼 직사각형(12)은 격자의

\frac{12}{30}

\frac{2}{5}

이고, 삼각형은 그 직사각형의

\frac{5}{12}

를 차지하므로

\frac{2}{5}

\frac{5}{12}

\frac{1}{6}

으로 두 경로가 같은 답을 줍니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 6학년 좌표기하만 알면 풀 수 있어요 — 기울어진 삼각형을 박스로 감싼 뒤 쉬운 모서리 삼각형을 빼고, 마지막에 분수를 약분하면 됩니다!

격자 전체 넓이 구하기
삼각형을 직사각형으로 감싸기
모서리 삼각형 세 개 정하기
모서리 삼각형 넓이 구하기
모서리 넓이 빼기
분수를 만들어 약분하기

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