AMC 8 · 2015 · #2

학년 6 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

area-trianglesfraction-arithmeticline-symmetry identify-subproblemsarea-difference ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticarea-triangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

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문제

정팔각형 ABCDEFGH의 중심이 O 이고, X 는 변 AB 의 중점입니다. 색칠된 영역은 다각형 XBCDEO 입니다 (X 에서 출발해 팔각형 둘레를 따라 B, C, D, E 를 지나고, 안쪽 중심 O 로 들어왔다가 다시 X 로 돌아오는 영역). 이 색칠된 영역이 정팔각형 전체 넓이의 몇 분의 몇인지 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{11}{32}$

(B)

$\frac{3}{8}$

(C)

$\frac{13}{32}$

(D)

$\frac{7}{16}$

(E)

$\frac{15}{32}$

AMC 8 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

이 문제는 그림이 이미 주어져 있지만, 핵심 동작(도구 #1)은 그 그림에 "덧칠"하는 것입니다 — 중심 O 에서 각 꼭짓점으로 가는 보조선(스포크)을 모두 긋기. 이 한 번의 추가로 정팔각형이 합동인 8 개의 삼각형으로 나뉘고, 그 결과 6 변으로 된 어색한 색칠 영역이 표준 조각들의 합으로 바뀝니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 색칠 영역 XBCDEO 를 그 조각들에 정확히 맞춰 나눠 줍니다 — 중심삼각형 3 개(△ OBC, △ OCD, △ ODE) 더하기 반쪽 삼각형 △ OXB. 작은 문제들이 풀리고 나면 비율은 간단한 덧셈으로 끝납니다.

1STEP 1

중심 O 에서 각 꼭짓점으로 보조선을 그으면 팔각형이 넓이 T 인 합동 삼각형 8 개로 나뉘어, 전체 넓이는 8T 입니다.

팔각형 넓이 = 8T

2STEP 2

색칠 경계를 스포크에 맞추면 완전한 세 조각 — △ OBC, △ OCD, △ ODE — 과 남는 작은 삼각형 △ OXB 로 이뤄집니다.

색칠 = △ OBC + △ OCD + △ ODE + △ OXB

3STEP 3

X 가 AB 의 중점이므로 OX 는 △ OAB 의 중선이 되어 넓이를 이등분합니다 — △ OXB 의 넓이는 $\frac{1}{2}$ T 입니다.

Area(△ OXB) =

\frac{1}{2}

· Area(△ OAB) =

\frac{1}{2}

4STEP 4

색칠 조각을 T 단위로 더하면 T + T + T + $\frac{1}{2}$ T = $\frac{7}{2}$ T 입니다.

색칠 = T + T + T +

\frac{1}{2}

T =

\frac{7}{2}

5STEP 5

색칠을 전체로 나누면 T 가 약분되어 $\frac{\frac{7}{2}T}{8T}$ = $\frac{7}{16}$ , 정답 (D) 입니다.

\frac{색칠}{팔각형}

\frac{\frac{7}{2}T}{8T}

\frac{7}{16}

→ (D)

정답

\frac{7}{16}

색칠 영역은 팔각형의 절반보다 살짝 작아 보입니다 — 눈으로 보면 8 조각 중 4 조각을 덮지만 그중 한 조각(△ OAB)은 절반만 칠해져 있죠. 따라서 답은

\frac{4}{8}

\frac{1}{2}

보다 약간 작아야 합니다. 우리 답

\frac{7}{16}

= 0.4375 는

\frac{1}{2}

보다 정확히

\frac{1}{16}

작고, 이는 누락된 반쪽 조각

\frac{1}{2}

\frac{1}{8}

\frac{1}{16}

과 정확히 일치합니다. 검산 통과.

💡핵심 정리

중심에서 보조선만 모두 그어 놓으면 이 AMC 8 문제는 5학년 "파이 조각 세기" 가 돼요 — 여덟 조각 중 세 조각과 반쪽 한 조각.

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