AMC 8 · 2015 · #21

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

angle-sum-trianglearea-trianglesarea-rectanglesexponents identify-subproblemscasework ↑ 선수 지식: area-rectanglesarea-trianglesangle-sum-triangle

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

육각형 ABCDEF 는 모든 내각이 같은 등각 육각형입니다. 변 AB 위에는 넓이 18 인 정사각형 ABJI, 변 FE 위에는 넓이 32 인 정사각형 FEHG 가 붙어 있습니다. 첫 정사각형의 변 JB 위에는 정삼각형 △ JBK 가 새로 만들어졌고, FE = BC 라는 조건이 주어집니다. △ KBC 의 넓이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$6\sqrt{2}$

(B)

(C)

(D)

$9\sqrt{2}$

(E)

AMC 8 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

△ KBC 의 넓이를 구하려면 두 변 BK, BC 의 길이와 그 사이 각 ∠ KBC 가 필요합니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 으로 문제를 세 개의 작은 질문 — (1) 정사각형 넓이에서 BC 와 BK 찾기, (2) B 주변 네 각의 합 360° 에서 ∠ KBC 찾기, (3) 삼각형 넓이 공식 적용 — 로 나눕니다. 도구 #1(그림 그리기) 은 보조 역할로, B 주변의 네 각을 그림에 표시해 두면 합이 정확히 360° 라는 점이 한눈에 보이고, 나머지 셋을 빼서 ∠ KBC 가 자연스럽게 나옵니다.

1STEP 1

정사각형의 한 변은 넓이의 제곱근이므로 BC = FE = √(32) = 4√(2), BK = JB = √(18) = 3√(2).

BC = √(32) = √(16 · 2) = 4√(2), BK = √(18) = √(9 · 2) = 3√(2)

2STEP 2

육각형 내각의 합은 (6-2) · 180° = 720° 이고 등각이라 균등하게 나뉘므로 ∠ ABC = 120°.

∠ ABC =

\frac{(6-2) · 180°}{6}

\frac{720°}{6}

= 120°

3STEP 3

정사각형에서 ∠ JBA = 90°, 정삼각형에서 ∠ KBJ = 60° 를 그대로 읽어 냅니다.

∠ JBA = 90°, ∠ KBJ = 60°

4STEP 4

B 주위 네 각의 합은 360° 이므로 ∠ KBC = 360° - (120°+90°+60°) = 90°, B 에서 직각입니다.

120° + 90° + 60° + ∠ KBC = 360° → ∠ KBC = 360° - 270° = 90°

5STEP 5

∠ KBC = 90° 이므로 BK 와 BC 가 직각변, 넓이 = $\frac{1}{2}$ · 3√(2) · 4√(2) = 12 → (C).

넓이 =

\frac{1}{2}

· BK · BC =

\frac{1}{2}

· 3√(2) · 4√(2) =

\frac{1}{2}

· 12 · 2 = 12 → (C)

정답

두 정사각형의 넓이 18 과 32 의 비는 약 1 : 1.78 이고, 두 직각변 3√(2) 와 4√(2) 의 비는 3 : 4 로 자연스럽습니다. 직각변이 3√(2), 4√(2) 인 직각삼각형의 넓이는

\frac{1}{2}

(3√(2))(4√(2)) = 12 로, 두 정사각형 넓이 18, 32 사이에 들어가 시각적으로도 일치합니다. 선택지 중 근호가 없는 깔끔한 정수는 (C) 12 뿐이고, 이는 √(2) · √(2) = 2 로 근호가 사라지는 구조와도 맞아떨어집니다.

💡핵심 정리

복잡한 그림은 작게 쪼개세요 — 정사각형 넓이에서 변의 길이를, 한 점 주위 360° 에서 빠진 각을, 마지막으로 깔끔한 직각삼각형 넓이 공식을 차례대로 적용하면 됩니다.

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