경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2015 · #4

학년 4 counting
유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Ordered Placement Count
permutations-basicsystematic-enumeration systematic-enumeration ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmetic
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
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문제
체스팀에 남학생 2 명과 여학생 3 명이 있습니다. 사진을 위해 한 줄로 서는데, 양쪽 끝에는 남학생이, 가운데 세 자리에는 여학생이 앉아야 합니다. 가능한 줄서기는 모두 몇 가지일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
2
(B)
4
(C)
5
(D)
6
(E)
12

AMC 8 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기

자리 배치 덕분에 문제가 서로 독립인 두 부분으로 깨끗하게 쪼개집니다 — (가) 양 끝 두 자리에 남학생 2 명을 배치하기, (나) 가운데 세 자리에 여학생 3 명을 배치하기. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 두 부분을 따로 센 다음 곱셈으로 합치면 됩니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 안전장치 — 남학생 배치 2 가지, 여학생 배치 6 가지를 정해진 순서로 나열해서 빠진 경우나 중복이 없는지 확인합니다.

1STEP 1

남학생 배치 수 세기

왼쪽 끝은 남학생 2 명 중 선택, 오른쪽 끝은 남은 1 명으로 정해져 2 가지 배치.

2 × 1 = 2 가지 (남학생 배치)
2STEP 2

여학생 배치 수 세기

가운데 세 자리는 3 명, 2 명, 1 명 순으로 채워지고, 모두 나열해 보면 정확히 6 가지 배치.

3 × 2 × 1 = 6 가지 (여학생 배치)
3STEP 3

두 경우의 수 곱하기

남학생 배치마다 여학생 배치가 모두 가능하므로 두 경우의 수를 곱합니다: 2 × 6.

전체 = 2 × 6 = 12 → (E)
정답
12
결과의 크기를 가늠해 봅시다. 자리 제약이 전혀 없다면 5 명을 한 줄로 세우는 방법은 5! = 120 가지입니다. 양 끝을 남학생으로 강제하면, 무작위로 줄을 세웠을 때 어느 한쪽 끝이 남학생일 확률은 25\frac{2}{5}, 그 다음 반대쪽 끝이 나머지 남학생일 확률은 14\frac{1}{4} 이므로, 조건을 만족할 비율은 25\frac{2}{5} × 14\frac{1}{4} = 110\frac{1}{10}. 실제로 120 × 110\frac{1}{10} = 12가 나와 답 (E)와 일치합니다.
💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 4학년 다단계 곱셈만 알면 풀 수 있어요 — 각 부분을 따로 세고 마지막에 곱해 주면 끝!

  • 남학생 배치 수 세기
  • 여학생 배치 수 세기
  • 두 경우의 수 곱하기

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