AMC 10 · 2017 · #19

학년 4 counting

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Ordered Placement Count

permutations-basiccasework caseworkcomplementary-countingprinciple-of-inclusion-exclusion ↑ 선수 지식: permutations-basic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

다섯 사람 — Alice, Bob, Carla, Derek, Eric — 가 의자 5개가 일렬로 놓인 줄에 앉는다. Alice는 Bob이나 Carla 바로 옆에 앉지 않으려 하고, Derek은 Eric 바로 옆에 앉지 않으려 한다. 두 조건을 모두 만족하는 앉는 방법의 수를 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

"몇 가지 방법"을 묻고 있으므로 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 맞다: 막연히 추측하지 말고 정해진 순서대로 경우를 만든다. 이 문제의 핵심은 Alice인데, 다섯 명 중 세 명이 그녀의 옆자리에서 금지되기 때문이다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 Alice의 위치 — 끝자리(이웃 하나)냐 가운데(이웃 둘)냐 — 로 경우를 나눈다. 두 상황은 매우 다르게 움직이기 때문이다. 도구 #1(그림 그리기) — 의자 5개를 한 줄로 — 은 "이웃"을 눈에 보이게 만들어 각 배치를 확인하기 쉽게 한다.

1STEP 1

Alice 옆에 앉을 수 있는 사람

Bob과 Carla는 Alice 옆에 못 앉으니 Alice 옆에는 Derek과 Eric만 가능; 이웃 수로 경우를 나눈다.

Alice의 이웃 ∈ {Derek, Eric}

2STEP 2

Alice의 자리로 나누기

끝자리(1, 5)는 이웃이 하나, 가운데 자리(2, 3, 4)는 둘이다 — 끝과 가운데를 따로 세어 더한다.

끝: 의자 1,5 가운데: 의자 2,3,4

3STEP 3

Alice가 끝자리에 앉는 경우

Alice가 끝자리면 이웃을 Derek/Eric로 정하고 나머지를 배열해 Derek·Eric 충돌을 빼면 끝자리당 8, 두 끝은 16.

2 × (6-2) = 8 (끝자리당), 8 × 2 = 16

4STEP 4

Alice가 가운데 자리에 앉는 경우

Alice가 가운데면 양옆은 Derek·Eric(규칙 자동 충족), 나머지는 Bob·Carla: 자리당 4, 셋이면 12.

2 × 2 = 4 (가운데 의자당), 4 × 3 = 12

5STEP 5

두 경우를 더하기

끝과 가운데 경우는 겹치지 않으므로 더한다: 16 + 12 = 28, 선택지 (C).

16 + 12 = 28 → (C)

정답

아무 규칙이 없으면 다섯 사람은 5!=120가지로 앉으므로, 28이라는 답은 그 중 합리적인 비율이다 — 작지만 너무 작지는 않아 제약이 강한 정도와 맞는다. 두 경우는 Alice의 모든 위치(끝 둘과 가운데 셋)를 겹침 없이 덮으므로 빠지거나 두 번 세는 일이 없다. 합계 28은 정확히 선택지 (C)이다.

💡핵심 정리

한 사람이 대부분의 이웃을 막을 때는 그 사람이 어디 앉는지로 세면, 나머지는 몇 개의 쉬운 경우로 정리된다.

Alice 옆에 앉을 수 있는 사람
Alice의 자리로 나누기
Alice가 끝자리에 앉는 경우
Alice가 가운데 자리에 앉는 경우
두 경우를 더하기

Alice 옆에 앉을 수 있는 사람

Alice의 자리로 나누기

Alice가 끝자리에 앉는 경우

Alice가 가운데 자리에 앉는 경우

두 경우를 더하기

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