AMC 8 · 2015 · #6

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

area-trianglespythagorean-theoremline-symmetry identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-trianglesperfect-squares

📏 짧은 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

삼각형 ABC 는 AB = BC = 29, 밑변 AC = 42 인 이등변삼각형입니다. 이 삼각형의 넓이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

100

(B)

420

(C)

500

(D)

609

(E)

701

AMC 8 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

세 변의 길이는 알지만 높이는 모르고, 넓이 공식에는 밑변과 높이가 모두 필요합니다. 도구 #12(그림 그리기)로 이등변삼각형을 그리면, 꼭짓점 B 에서 밑변 AC 로 수선을 내리는 그림이 자연스럽게 떠오릅니다. 도구 #13(대칭 이용하기)이 핵심 — AB = BC 이므로 B 에서 내린 수선은 동시에 AC 의 수직이등분선이라, 밑변을 정확히 절반씩(21, 21) 나눠 합동인 두 직각삼각형을 만듭니다. 그러면 피타고라스 정리로 높이가 한 줄에 나오고, 넓이 공식으로 마무리됩니다.

1STEP 1

꼭짓점 B 에서 밑변 AC 에 수선을 내리면 대칭에 의해 중점에 닿아 AD = DC = 21 이 됩니다.

AD = DC =

\frac{AC}{2}

\frac{42}{2}

= 21

2STEP 2

직각삼각형 ABD 는 빗변 29, 한 변 21 이므로 피타고라스 정리 로 높이 h 를 구합니다.

AD² + BD² = AB² → 21² + h² = 29²

3STEP 3

29² - 21² = 400 이므로 h = 20 입니다.

h² = 29² - 21² = 841 - 441 = 400 → h = √(400) = 20

4STEP 4

밑변 42, 높이 20 을 절반 × 밑변 × 높이 에 대입하면 넓이 = 420 입니다.

넓이 =

\frac{1}{2}

× 42 × 20 = 21 × 20 = 420 → (B)

정답

420

바깥에 두른 직사각형으로 검산해 봅니다. 42 × 20 직사각형의 넓이는 840 이고, 그 안에 들어가는 이 삼각형은 정확히 절반이라 420 — 우리 답과 일치합니다. 또 20² + 21² = 400 + 441 = 841 = 29² 로 20-21-29 는 표준 피타고라스 수이므로 높이는 어림이 아니라 정확한 값입니다.

💡핵심 정리

이등변삼각형의 대칭 덕분에 이 문제는 8학년 피타고라스 정리(20-21-29 수)와 6학년 넓이 공식만으로 풀립니다.

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