AMC 8 · 2015 · #9

학년 3 arithmeticpattern

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

sequences-arithmeticpattern-recognitionperfect-squares pattern-recognitionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticsequences-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

자나벨은 1일차에 위젯 1개, 2일차에 3개, 3일차에 5개를 팔았고, 그다음부터는 매일 전날보다 2개씩 더 팔았습니다. 20일 동안 일했을 때, 자나벨이 판 위젯은 모두 몇 개일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

210

(D)

400

(E)

401

AMC 8 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 패턴 찾기

일별 판매량 1, 3, 5, 7, … 은 홀수의 나열이므로, 사실 이 문제는 "처음 20 개 홀수의 합" 을 묻는 것입니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 로 작은 n (n = 1, 2, 3, 4)에 대해 누적 합을 직접 구하고, 도구 #5(패턴 찾기) 로 그 누적 합 1, 4, 9, 16 이 완전제곱수 n² 이라는 규칙을 잡아내면, n = 20 일 때 답은 20² 으로 길게 더할 필요가 없습니다. 도구 #3(가능성 지우기) 은 마지막에 선택지와 맞춰 보는 빠른 확인용입니다.

1STEP 1

쉬운 것부터 — 처음 며칠치를 더해 누적 합 1, 4, 9, 16을 얻습니다.

S₁ = 1, S₂ = 1+3 = 4, S₃ = 1+3+5 = 9, S₄ = 1+3+5+7 = 16

2STEP 2

이 누적 합은 완전제곱수 — n일까지의 합은 n²과 같습니다.

n = 1, 2, 3, 4 → S_n = n²

3STEP 3

한 번 더 확인 — 5일차에 9개를 더하면 25 = 5², 패턴이 유지됩니다.

S₅ = 16 + 9 = 25 = 5² ✓

4STEP 4

패턴을 n = 20에 적용 — 20일까지의 총 판매량은 20²입니다.

S₂0 = 20² = 400

5STEP 5

선택지와 대조 — 400은 (D)이고, 다른 선택지 중 20의 제곱은 없습니다.

400 → (D)

정답

400

20일차 하루 판매량은 1 + 19 × 2 = 39 개, 하루 평균 판매량은

\frac{1 + 39}{2}

= 20 개이므로 20 일 × 20 개 = 400 개. 완전히 다른 경로로도 같은 답이 나오니 400 이 맞습니다. (A) 39 는 20일차 하루 판매량 자체, (E) 401 은 1만큼 어긋난 함정 — 둘 다 그럴듯해 보이지만 총합은 아닙니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 "처음 n 개 홀수의 합이 n²" 이라는 3학년 사실 하나만 알면 되고, 그 사실 자체도 2학년 덧셈으로 직접 발견할 수 있어요!

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