경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2016 · #22

학년 8 geometry-2d
유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation
area-trianglessimilar-trianglescoordinate-geometry area-differenceidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-trianglessimilar-triangles
📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형
문제
3 × 4 직사각형 DEFA 의 윗변 DA 가 점 C, B 에 의해 길이가 1 인 세 구간으로 나뉩니다 (즉 D, C, B, A 의 x 좌표는 0, 1, 2, 3). 안쪽으로 선분 EB 와 FC 가 그어져 한 점에서 교차하고, 동시에 EC 와 FB 도 그어집니다. 검은색 '박쥐 날개' 두 조각은 사다리꼴 EFCB 안에서 EB 와 FC 의 교차점 양옆에 자리한 두 삼각형 모양 영역입니다. 색칠된 부분의 전체 넓이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
2
(B)
$2 \frac{1}{2}$
(C)
3
(D)
$3 \frac{1}{2}$
(E)
5

AMC 8 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 관점 바꾸기

두 날개를 직접 더하려고 하면 비스듬한 경계 때문에 측정이 까다롭습니다. 도구 #16(관점 바꾸기)으로 시선을 뒤집습니다 — 날개들은 사다리꼴 EFCB 안에 있고, 사다리꼴에서 날개가 아닌 부분은 교차점 G 에서 만나는 깔끔한 두 삼각형뿐입니다. 그러니 색칠 넓이 = 사다리꼴 넓이 - 위쪽 삼각형 △ CGB - 아래쪽 삼각형 △ EGF. 도구 #1(그림 그리기)로 직사각형을 좌표 위에 놓아 교차점 위치를 다루기 쉽게 만들고, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 작업을 세 조각(사다리꼴 넓이, 작은 위 삼각형, 큰 아래 삼각형)으로 나누면 각 조각마다 6학년 넓이 공식 한 번씩이면 끝납니다.

1STEP 1

좌표평면에 그리기

직사각형을 좌표 위에 올려 EB 와 FC 를 정직한 선으로 바꾸고, 사다리꼴 EFCB 안 두 선의 교차점을 G 라 부릅니다.

E(0,0), F(3,0), C(1,4), B(2,4)
2STEP 2

사다리꼴 넓이 구하기

날개는 사다리꼴 EFCB 안에 있고, 평행한 밑변 EF = 3, CB = 1, 높이 4로 넓이는 8.

넓이(EFCB) = 1/2(3 + 1)(4) = 1/2(4)(4) = 8
3STEP 3

교점 위치 찾기

CB ∥ EF 라서 △CGB 와 △EGF 는 닮음(밑변비 1 : 3), 높이는 합이 4 이므로 1과 3 으로 갈라집니다.

h_위 + h_아래 = 4, h_아래 = 3 h_위 → h_위 = 1, h_아래 = 3
4STEP 4

삼각형 두 개 넓이 구하기

비색칠 삼각형은 위쪽이 12\frac{1}{2} (밑변 1, 높이 1), 아래쪽이 92\frac{9}{2} (밑변 3, 높이 3).

넓이(△ CGB) = 1/2(1)(1) = 1/2, 넓이(△ EGF) = 1/2(3)(3) = 9/2
5STEP 5

빼서 색칠한 넓이 구하기

사다리꼴에서 두 삼각형을 빼면 8 - 12\frac{1}{2} - 92\frac{9}{2} = 3, 곧 두 박쥐 날개.

색칠 = 8 - 1/2 - 9/2 = 8 - 10/2 = 8 - 5 = 3 → (C)
정답
3
사다리꼴 넓이는 8이고 안쪽 비색칠 삼각형 합이 12\frac{1}{2} + 92\frac{9}{2} = 5 이므로 날개에 남는 넓이는 3. 이는 사다리꼴의 38\frac{3}{8} 정도로, 그림에서 두 날개가 사다리꼴의 절반보다 조금 작아 보이는 느낌과 잘 맞습니다. 또 전체 직사각형 넓이는 3 × 4 = 12이고 3은 12의 14\frac{1}{4} — 균등 분할 설정에 어울리는 깔끔한 분수입니다. 답 (C) = 3만 일치합니다.
💡핵심 정리

이상한 모양의 날개를 직접 재지 말고, 둘레의 사다리꼴을 채워 두고 빼세요! 1 : 3 닮은 삼각형 (8학년 개념)만 알아채면 높이가 1과 3으로 갈라지고, 나머지는 사다리꼴 넓이 한 번에서 삼각형 넓이 두 번을 빼는 일뿐입니다.

  • 좌표평면에 그리기
  • 사다리꼴 넓이 구하기
  • 교점 위치 찾기
  • 삼각형 두 개 넓이 구하기
  • 빼서 색칠한 넓이 구하기

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