AMC 8 · 2016 · #24

학년 4 number-theorylogic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

divisibility-rulesdigit-constraintsdigit-sumsystematic-enumeration caseworksystematic-enumerationdigit-constraints ↑ 선수 지식: divisibility-rulesplace-value

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

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문제

숫자 1, 2, 3, 4, 5 를 각각 한 번씩만 써서 다섯 자리 수 PQRST 의 다섯 자리에 배치합니다. 단, 세 자리 수 PQR 은 4 의 배수, 세 자리 수 QRS 는 5 의 배수, 세 자리 수 RST 는 3 의 배수여야 합니다. 이때 자리 P 에 들어가는 숫자는 무엇일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 가능성 지우기

다섯 자리에 숫자를 배치하는 방법은 5! = 120 가지뿐이고, 세 개의 배수 조건이 이 후보군을 빠르게 깎아 줍니다. 도구 #3(가능성 지우기) 가 이 문제의 주축입니다 — 각 배수 규칙이 특정 자리의 후보를 거의 다 지워서, 한 자리에 한두 개만 남게 됩니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 은 규칙을 적용하는 순서를 정해 줍니다: 가장 강한 제약부터 — 5 의 배수 규칙으로 S, 그다음 4 의 배수 규칙으로 R, 그다음 3 의 배수 규칙으로 T, 마지막으로 남는 두 숫자로 P, Q. 사실상 논리 퍼즐이므로 대수(도구 #13) 보다 훨씬 깔끔합니다.

1STEP 1

QRS 가 5 의 배수이려면 끝자리 S 가 0 또는 5, 그런데 0 은 없으니 S = 5, 남은 숫자는 {1, 2, 3, 4}.

S = 5; 남은 숫자 = {1, 2, 3, 4}

2STEP 2

PQR 이 4 의 배수이려면 QR 도 4 의 배수라 끝자리 R 은 짝수여야 하고, {1, 2, 3, 4} 중에서는 R ∈ {2, 4}.

R ∈ {2, 4}

3STEP 3

RST 의 3 의 배수 규칙은 자릿수 합이 3 의 배수. S = 5 이면 R + 5 + T 가 3 의 배수 — R = 2 와 4 를 검사.

R + S + T ≡ 0 (mod 3), 즉 R + T ≡ 1 (mod 3) (5 ≡ 2 (mod 3) 이므로).

4STEP 4

R = 2 면 7 + T 가 {1, 3, 4} 어느 것으로도 3 의 배수가 안 되고, R = 4 면 9 + T 라 R = 4, T = 3.

R = 4, T = 3; P, Q 에 남은 숫자 = {1, 2}

5STEP 5

남은 {1, 2} 로 Q4 가 4 의 배수가 되려면 14 는 실패, 24 는 성공, 그래서 Q = 2, P = 1, PQRST = 12453.

Q = 2, P = 1; PQRST = 12453 → P = 1 → (A)

정답

PQRST = 12453 을 세 조건에 대입해 확인합니다: PQR = 124, 124 = 4 × 31 (4 의 배수, OK); QRS = 245, 끝자리가 5 (5 의 배수, OK); RST = 453, 자릿수 합 4 + 5 + 3 = 12 = 3 × 4 (3 의 배수, OK). 다섯 숫자 1, 2, 3, 4, 5 도 정확히 한 번씩 등장합니다. 모든 조건이 맞으므로 P = 1, 답은 (A).

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 4학년 배수 판별 퍼즐이에요 — 3, 4, 5 의 배수 규칙만 알면 풀려요.

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