AMC 8 · 2016 · #5

학년 4 number-theory

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modular-arithmeticdivisibility-rulesplace-value systematic-enumerationdigit-constraints ↑ 선수 지식: place-valuedivisibility-rules

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

N 은 두 자리 수입니다. N 을 9 로 나누면 나머지가 1 이고, 10 으로 나누면 나머지가 3 입니다. 이때 N 을 11 로 나눈 나머지는 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

"10 으로 나눈 나머지가 3" 이라는 조건은 매우 강력합니다 — 일의 자리가 반드시 3 이어야 하므로 후보가 13, 23, 33, …, 93 의 아홉 개로 줄어듭니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 이 후보를 순서대로 적고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 "9 로 나눈 나머지가 1" 조건을 적용해 탈락 후보를 지웁니다. 9 로 나눈 나머지를 빠르게 확인하기 위해 도구 #5(패턴 찾기)의 자릿수 합 규칙 — 어떤 수의 9 에 대한 나머지는 자릿수 합의 9 에 대한 나머지와 같다 — 을 씁니다. 후보 중 단 하나만 살아남고, 마지막에 11 로 한 번 나누면 끝납니다 — 대수가 필요 없습니다.

1STEP 1

10 으로 나눈 나머지가 3 이면 일의 자리가 3 이므로, N 은 3 으로 끝나는 두 자리 수 아홉 개 중 하나입니다.

N ∈ {13, 23, 33, 43, 53, 63, 73, 83, 93}

2STEP 2

9 로 나눈 나머지는 그 수의 자릿수 합 을 9 로 나눈 나머지와 같으므로, 자릿수를 더해 나머지 1 인지만 확인하면 됩니다.

N mod 9 = (N 의 자릿수 합) mod 9

3STEP 3

각 후보의 자릿수를 더하면, 73 만 자릿수 합이 10 이라 9 로 나눈 나머지가 1 이므로 N = 73 입니다.

N & 자릿수 합 & mod 9 ; 13 & 4 & 4 ; 23 & 5 & 5 ; 33 & 6 & 6 ; 43 & 7 & 7 ; 53 & 8 & 8 ; 63 & 9 & 0 ; 73 & 10 & 1 ; 83 & 11 & 2 ; 93 & 12 & 3

4STEP 4

N = 73 을 11 로 나누면, 11 × 6 = 66 이고 11 × 7 은 73 을 넘으므로 나머지는 73 - 66 = 7 입니다.

73 = 11 × 6 + 7 → 73 mod 11 = 7 → (E)

정답

N = 73 을 원래 조건 두 개에 다시 대입해 봅니다. 73 = 9 × 8 + 1 ✓ (9 로 나눈 나머지 1), 73 = 10 × 7 + 3 ✓ (10 으로 나눈 나머지 3). 둘 다 맞으므로 N = 73 이 옳고, 73 ÷ 11 = 6 … 7 은 선택지 (E) 와 일치합니다. 나머지 7 은 {0, 1, …, 10} 안에 있어 mod 11 의 나머지가 가질 수 있는 범위에도 맞습니다 — 크기도 자연스럽습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 4학년에서 배우는 일의 자리 자릿값, 9 배수의 자릿수 합 규칙, 그리고 기본 나눗셈만으로 풀 수 있어요!

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